Фурье преобразование

одно из интегральных преобразований,- линейный оператор F, действующий в пространстве, элементами к-рого являются функции f(х)от пдействительных переменных. Минимальной областью определения Fсчитается совокупность [img: http://localhost:8080/file/052218-8.jpg] бесконечно дифференцируемых финитных функций j. Для таких функций [img: http://localhost:8080/file/052218-9.jpg] В нек-ром смысле наиболее естественной областью определения Fявляется совокупность Sбесконечно дифференцируемых функций [img: http://localhost:8080/file/052218-10.jpg] исчезающих на бесконечности вместо со своими производными быстрее любой степени | х|. Формула (1) сохраняется для [img: http://localhost:8080/file/052218-11.jpg] и при этом [img: http://localhost:8080/file/052218-12.jpg] Более того, Fосуществляет изоморфизм Sна себя, обратное отображение F-1 -обращение Ф. п., обратное преобразование Фурье, -задается формулой: [img: http://localhost:8080/file/052218-13.jpg] Формула (1) еще действует в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052218-14.jpg] суммируемых функций. Дальнейшее расширение области определения оператора Fтребует обобщения формулы (1). В классич. анализе такие обобщения строятся для локально суммируемых функций с теми или иными ограничениями на их поведение при [img: http://localhost:8080/file/052218-15.jpg] (см. Фурье интеграл). В теории обобщенных функций определение оператора Fосвобождено от многих требований классич. анализа. Основные задачи, связанные с изучением Ф. п. F:исследование области определения Ф оператора. и области его значений [img: http://localhost:8080/file/052218-16.jpg] свойства отображения [img: http://localhost:8080/file/052218-17.jpg] (в частности, условия существования обратного оператора F-l и его выражение). Формула обращения Ф. п. весьма проста: F-l[g(x)]=F [g(-x)]. Под действием Ф. п. линейные операторы в исходном пространстве, инвариантные относительно сдвига, переходят в пространстве образов в операторы умножения (при нек-рых условиях). В частности, свертка функций f и gпереходит в произведение функций Ff и Fg: [img: http://localhost:8080/file/052218-18.jpg] дифференцирование порождает умножение на независимую переменную: [img: http://localhost:8080/file/052218-19.jpg] В пространствах [img: http://localhost:8080/file/052218-20.jpg] оператор Fопределен формулой (1) на множестве [img: http://localhost:8080/file/052218-21.jpg] и является ограниченным оператором из [img: http://localhost:8080/file/052218-23.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052218-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052218-24.jpg] (неравенство Хаусдорфа - Юнга). По непрерывности Fдопускает продолжение на все пространство [img: http://localhost:8080/file/052218-25.jpg] к-рое (для [img: http://localhost:8080/file/052218-26.jpg] дается формулой [img: http://localhost:8080/file/052218-27.jpg] где сходимость понимается по норме пространства [img: http://localhost:8080/file/052218-28.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052218-29.jpg] образ пространства Lp под действием оператора Fне совпадает с Lq, т. е. вложение [img: http://localhost:8080/file/052218-30.jpg] строгое при [img: http://localhost:8080/file/052218-31.jpg] (случай р = 2 см. в статье Планшереля теорема). Обратный оператор F-l определен на FLp формулой [img: http://localhost:8080/file/052218-32.jpg] Задача о распространении Ф. п. на возможно широкий класс-функций постоянно возникает в анализе и его приложениях. См.. напр., Фурье преобразование обобщенной функции.