Фурье ряд

по ортогональным многочленам- ряд вида [img: http://localhost:8080/file/052218-104.jpg] где многочлены { Р п (х)} ортонормированы на интервале (а, b)с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а коэффициенты { а n} вычисляются но формуле [img: http://localhost:8080/file/052218-105.jpg] причем функция f(x) входит в класс функций L2=L2[a, b, h (х)], квадрат к-рых суммируем (интегрируем по Лебегу) с весовой функцией h(х)по интервалу ортогональности (а, b). Как и у любого ортогонального ряда, частичные суммы {s п(х, f)} ряда (1) приближают функцию f(x) наилучшим образом в метрике пространства L2 и выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/052218-106.jpg] Для доказательства сходимости ряда (1) в отдельной точке хили на нек-ром множестве из (а, b)обычно применяется равенство [img: http://localhost:8080/file/052218-107.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052218-108.jpg] -коэффициенты Фурье вспомогательной функции [img: http://localhost:8080/file/052218-109.jpg] при фиксированном х, а [img: http://localhost:8080/file/052218-110.jpg] -коэффициент из формулы Кристоффеля-Дарбу. Если отрезок ортогональности [ а, b] конечен, [img: http://localhost:8080/file/052218-111.jpg] и последовательность { Р п (х)}ограничена в данной точке х, то ряд (1) сходится к значению f(x). Коэффициенты (2) можно определять и для функции f(t)из класса L1 = L1 [a, b, h(t)],т. е. для функций, суммируемых с весом h(t)на интервале (а, b). В случае конечного отрезка [ а, b]условие (3) имеет место, если [img: http://localhost:8080/file/052218-112.jpg] а последовательность { Р п(t)} ограничена равномерно на всем отрезке [а, b]. При этих условиях ряд (1) сходится в нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/052218-113.jpg] к значению f(x), если [img: http://localhost:8080/file/052218-114.jpg] Пусть А- та часть интервала (а, b), где последовательность { Р n(t)} ограничена равномерно, [img: http://localhost:8080/file/052218-115.jpg] и Lp(A)=Lp[A, h(t)]-класс функций, суммируемых в степени рпо множеству Ас весом h(t). Если при фиксированном [img: http://localhost:8080/file/052218-116.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/052218-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052218-118.jpg] то ряд (1) сходится к f(x). Для рядов (1) имеет место принцип локализации условий сходимости: если две функции f(t)и g(t)из пространства L2 совпадают в интервале [img: http://localhost:8080/file/052218-119.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052218-120.jpg] то Ф. р. по ортогональным многочленам этих двух функций в точке хсходятся или расходятся одновременно. Аналогичное утверждение справедливо, если f(t)и g(t)входят в пространства L1 (А)и L2 (В), причем [img: http://localhost:8080/file/052218-121.jpg] Для классических ортогональных многочленов имеют место теоремы о равносходимости ряда (1) с нек-рым ассоциированным тригонометрич. рядом Фурье (см. Равносходящиеся ряды). Равномерная сходимость ряда (1) на всем конечном отрезке ортогональности [ а, b|или на части его обычно исследуется с помощью неравенства Лебега [img: http://localhost:8080/file/052218-122.jpg] гдe функция Лебега [img: http://localhost:8080/file/052218-123.jpg] не зависит от функции f(x),a En(f)-наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(х)на отрезке [ а, b]многочленами степени не выше n. В зависимости от свойств весовой функции h(х)последовательность функций Лебега {Ln (х)} в разных точках отрезка [ а, b]может возрастать с различной скоростью. А для всего отрезка [ а, b]вводятся постоянные Лебега [img: http://localhost:8080/file/052218-124.jpg] к-рые возрастают неограниченно при [img: http://localhost:8080/file/052218-125.jpg] причем для различных систем ортогональных многочленов постоянные Лебега могут возрастать с различной скоростью. Из неравенства Лебега следует, что если выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/052218-126.jpg] то ряд (1) сходится к функции f(x) равномерно на всем отрезке [ а, b]. С другой стороны, скорость сходимости последовательности (Е п(f)} к нулю зависит от дифференциальных свойств функции f(x). Поэтому во многих случаях нетрудно сформулировать достаточные условия, при к-рых правая часть неравенства Лебега стремится к нулю при [img: http://localhost:8080/file/052218-127.jpg] (см., напр., Лежандра многочлены, Чебышева многочлены, Якоби многочлены). В общем случае произвольного веса конкретные результаты получаются, если для рассматриваемых ортогональных многочленов известны асимптотич. формулы или оценки.