Ханта - стейна теорема

- утверждение, содержащее условия, при выполнении к-рых существует максиминный инвариантный критерий в задаче статистич. проверки гипотез. Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве [img: http://localhost:8080/file/052301-102.jpg] надлежит проверить гипотезу [img: http://localhost:8080/file/052301-103.jpg] против альтернативы [img: http://localhost:8080/file/052301-104.jpg] причем предполагается, что семейство [img: http://localhost:8080/file/052301-105.jpg] доминировано нек-рой [img: http://localhost:8080/file/052301-106.jpg] -конечной мерой [img: http://localhost:8080/file/052301-107.jpg] Далее, пусть на [img: http://localhost:8080/file/052301-108.jpg] действует группа преобразований G={g},оставляющая инвариантной задачу проверки гипотезы H0 против H1. и пусть [img: http://localhost:8080/file/052301-109.jpg] -борелевское [img: http://localhost:8080/file/052301-110.jpg] -поле подмножеств группы С.X.- С. т. утверждает, что если выполняются условия: 1) отображение [img: http://localhost:8080/file/052301-111.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052301-112.jpg] -измеримо, причем [img: http://localhost:8080/file/052301-113.jpg] для любого множества [img: http://localhost:8080/file/052301-114.jpg] и любого элемента g [img: http://localhost:8080/file/052301-115.jpg] 2) на [img: http://localhost:8080/file/052301-116.jpg] существует асимптотически правоинвариантная последовательность мер vn в том смысле, что для любых [img: http://localhost:8080/file/052301-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052301-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052301-118.jpg] то для любого статистич. критерия, предназначенного для проверки H0 против H1, критич. функция к-рого есть [img: http://localhost:8080/file/052301-120.jpg] найдется (почти) инвариантный критерий с критич. функцией [img: http://localhost:8080/file/052301-122.jpg] такой, что при всех [img: http://localhost:8080/file/052301-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052301-121.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052301-124.jpg] - группа, индуцированная группой G. Из X. С. т. следует, что если существует статистический критерий уровня [img: http://localhost:8080/file/052301-125.jpg] с критич. функцией [img: http://localhost:8080/file/052301-126.jpg] максимизирующий [img: http://localhost:8080/file/052301-127.jpg] то существует и (почти) инвариантный критерий с таким же свойством. Условие 2) заведомо выполняется, когда группа Gявляется локально компактной, на к-рой задана правоинвариантная мера Хаара. X.-С. т. показывает, что если группа Gудовлетворяет условиям теоремы, то в любой задаче статистич. проверки гипотез, инвариантной относительно G, в к-рой существует равномерно наиболее мощный критерий, этот критерий является максиминным. Напротив, пусть в нек-рой задаче статистич. проверки гипотез, инвариантной относительно группы G, установлено, что равномерно наиболее мощный критерий не является максиминным. Это означает, что нарушены условия Х.-С. т. В связи с этим возникает вопрос: может ли заданный критерий быть максиминным н другой задаче проверки гипотез, инвариантной относительно той же группы G? Ответ на этот вопрос уже зависит не только от группы G, но и от самого семейства распределений [img: http://localhost:8080/file/052301-128.jpg] X.-С. т. была получена Хантом (G. Hunt) и Стейном (С. Stein) в 1946, см. [1].