Характеристика

- одно из основных понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Роль X. проявляется в существенных свойствах этих уравнений, таких, как локальные свойства решений, разрешимость различных задач, их корректность и др. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052302-75.jpg] - линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка m, a [img: http://localhost:8080/file/052302-76.jpg] - его символ. Здесь [img: http://localhost:8080/file/052302-77.jpg] -мультииндекс, | v |=v1+...+vn, [img: http://localhost:8080/file/052302-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052302-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052302-80.jpg] Пусть S -гиперповерхность, определенная в [img: http://localhost:8080/file/052302-81.jpg] уравнением [img: http://localhost:8080/file/052302-82.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052302-83.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052302-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052302-85.jpg] В этом случае Sназ. характеристической поверхностью, или характеристикой, для оператора L(х, D). Другие названия X.: характеристическое многообразие, характеристическая линия (в случае [img: http://localhost:8080/file/052302-86.jpg] Ниже рассмотрен пример задачи Коши. Пусть S - произвольная (не обязательно характеристическая) гиперповерхность в [img: http://localhost:8080/file/052302-87.jpg] определенная уравнениями [img: http://localhost:8080/file/052302-88.jpg] Пусть u0,..., um-1 -функции, определенные на Sв окрестности Uточки [img: http://localhost:8080/file/052302-89.jpg] и поставлена задача Коши [img: http://localhost:8080/file/052302-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052302-91.jpg] относительно неизвестной функции и. Здесь f-заданная функция, L(x, D) - заданный линейный дифференциальный оператор порядка т, п - ортонормированный вектор к S. Считая, для определенности, [img: http://localhost:8080/file/052302-92.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052302-93.jpg] заменой переменных [img: http://localhost:8080/file/052302-94.jpg] приходят к уравнению [img: http://localhost:8080/file/052302-95.jpg] Невыписанное выражение под знаком [img: http://localhost:8080/file/052302-96.jpg] не содержит частных производных от функции ипо [img: http://localhost:8080/file/052302-97.jpg] порядка т. Возникают два случая: [img: http://localhost:8080/file/052302-98.jpg] В первом случае деление уравнения (2) на [img: http://localhost:8080/file/052302-99.jpg] приводит к уравнению, разрешенному относительно старшей частной производной по переменной [img: http://localhost:8080/file/052302-100.jpg] т. е. записанному в нормальной форме. Начальным условиям можно придать вид [img: http://localhost:8080/file/052302-101.jpg] Такая постановка задачи Коши хорошо изучена и, напр. при аналитически заданных функциях в уравнении и в начальных условиях, существует единственное решение этой задачи в классе аналитич. ций в достаточно малой окрестности точки х 0. Во втором случае точка х 0 является характеристической, а если равенство (1) верно для всех [img: http://localhost:8080/file/052302-102.jpg] то поверхность Sявляется X. В этом случае начальные данные не могут быть произвольными и исследование задачи Коши усложняется. Напр., для уравнения [img: http://localhost:8080/file/052302-103.jpg] могут быть заданы начальные условия на одной из его X. x1=0: [img: http://localhost:8080/file/052302-104.jpg] Если функция u1 отлична от постоянной, то задача Коши (3), (4) не имеет решения в пространстве С 2. Если же функция u1 постоянна, напр. равна [img: http://localhost:8080/file/052302-105.jpg] то решение неединственно в С 2, т. к. им может быть любая функция вида u(x1, х2) = ах1 + b (х 1) + и0 (х 2). где [img: http://localhost:8080/file/052302-106.jpg] Таким образом, задача Коши существенно различается в зависимости от того, заданы ли начальные данные на характеристической поверхности или нет. X. обладает свойством инвариантности при преобразовании независимых переменных: если [img: http://localhost:8080/file/052302-107.jpg] есть решение уравнения (1) и если преобразование [img: http://localhost:8080/file/052302-108.jpg] переводит [img: http://localhost:8080/file/052302-109.jpg] удовлетворяет уравнению [img: http://localhost:8080/file/052302-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052302-111.jpg] Другое свойство X. таково, что относительно X. Sоператор L(x, D)является внутренним дифференциальным оператором. Эллиптические линейные дифференциальные операторы определяются как операторы, для к-рых не существует X. (действительных). Определение гиперболич. и параболич. операторов также тесно связано с понятием X. Так, линейный дифференциальный оператор 2-го порядка относится к гиперболич. типу, если он имеет два семейства X., и к параболическому, если - одно. Знание X. дифференциального уравнения позволяет свести это уравнение к более простому виду. Напр., пусть задано гиперболич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/052302-112.jpg] Для него уравнение X. (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052302-113.jpg] Последнее уравнение определяет два различных семейства X.: [img: http://localhost:8080/file/052302-114.jpg] Существуют две X. из этих семейств такие, что соответствующие им функции [img: http://localhost:8080/file/052302-115.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052302-116.jpg] определяют замену переменных [img: http://localhost:8080/file/052302-117.jpg] по формулам [img: http://localhost:8080/file/052302-118.jpg] и приводят уравнение (5) к канонич. виду [img: http://localhost:8080/file/052302-119.jpg] Для нелинейного дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052302-120.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052302-121.jpg] -мультииндексы, причем [img: http://localhost:8080/file/052302-122.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052302-123.jpg] X. Sопределяется как гиперповерхность в [img: http://localhost:8080/file/052302-124.jpg] с уравнением [img: http://localhost:8080/file/052302-125.jpg] причем при [img: http://localhost:8080/file/052302-126.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052302-127.jpg] Символ в атом случае для оператора (6), задаваемого функцией F(х, и, v, w), определяется так: [img: http://localhost:8080/file/052302-128.jpg] Кроме переменных хи [img: http://localhost:8080/file/052302-129.jpg] очевидно, [img: http://localhost:8080/file/052302-130.jpg] может зависеть от [img: http://localhost:8080/file/052302-131.jpg] Пусть, напр., задано уравнение 1-го порядка (m = 1). Кроме того, для простоты п=2. Уравнение (6) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/052302-132.jpg] с функцией F(x, у, z, p, q). Уравнение X.: [img: http://localhost:8080/file/052302-133.jpg] Т. к. решение этого уравнения [img: http://localhost:8080/file/052302-134.jpg] фактически может зависеть от и, [img: http://localhost:8080/file/052302-135.jpg] то ее задают в параметрич. виде [img: http://localhost:8080/file/052302-136.jpg] причем эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям x'(t) = Fp, y'(t) = Fq, z'(t) = pFp + qFq, P'(t)=-Fx-pFz, g'(t)=-Fy-qFz. Геометрически это определяет т. н. характеристическую полосу (при [img: http://localhost:8080/file/052302-137.jpg] Проекция этой полосы на пространство (x(t), y(t), z(t))определяет такую кривую линию в [img: http://localhost:8080/file/052302-138.jpg] что в каждой своей точке она касается плоскости с направляющими коэффициентами p(t), q(t). Эта кривая также наз. X. уравнения (6).