Характеров группа

группы G - группа всех характеров X(G) =Hom(G, А)группы Gсо значениями в абелевой группе Аотносительно операции [img: http://localhost:8080/file/052304-62.jpg] индуцированной операцией в А. В случае когда А = Т, [img: http://localhost:8080/file/052304-63.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052304-64.jpg] - квазициклические группы, взятые по одной для каждого простого числа р. Эта группа алгебраически компактна (см. Сервантная подгруппа). Если при этом Gабелева, то X(G)является полной группой тогда и только тогда, когда G - группа без кручения, и редуцированной тогда и только тогда, когда Gпериодична [4]. Группа характеров топологической группы G - группа X(G)всех непрерывных гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/052304-65.jpg] снабженная компактно открытой топологией. Она является хаусдорфовой абелевой топологич. группой. Если группа Gлокально компактна, то и X(G) локально компактна, если Gкомпактна, то X(G)дискретна, а если Gдискретна, то X(G) компактна. Примеры X. г.: [img: http://localhost:8080/file/052304-66.jpg] для любой конечной дискретной абелевой группы G. С каждым непрерывным гомоморфизмом топологических групп [img: http://localhost:8080/file/052304-67.jpg] связан гомоморфизм X. г. [img: http://localhost:8080/file/052304-68.jpg] При этом соответствие [img: http://localhost:8080/file/052304-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052304-70.jpg] ость контравариантный функтор из категории топологических групп в категорию топологических абелевых групп. Если ограничиться категорией локально компактных абелевых групп G, то этот функтор определяет эквивалентность указанной категории и двойственной к ней категории (см. Понтрягина двойственность). Группа характеров алгебраической группы Gнад полем К - группа X(G)всех рациональных характеров [img: http://localhost:8080/file/052304-71.jpg] Если G- абелева аффинная алгебраич. группа, то X(G)порождает пространство K[G](т. е. является базисом в этом пространстве) тогда и только тогда, когда G - диагонализируемая алгебраическая группа, т. е. изоморфна замкнутой подгруппе нек-рого тора [img: http://localhost:8080/file/052304-72.jpg] При этом X(G) - конечно порожденная абелева группа (без р-кручения, если char K=p>0)и К[G], является групповой алгеброй группы X(G) над К, что дает возможность определить двойственность между категорией диагонализируемых групп и категорией конечно порожденных абелевых групп (без р-кручения, если char К=р>0). В случае когда G - конечная группа (рассматриваемая как 0-мерная алгебраич. группа), эта двойственность совпадает с классич. двойственностью конечных абелевых групп. Для любой связной алгебраич. группы G группа X(G) не имеет кручения. В частности, диагонализируемая группа G является тором тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/052304-73.jpg]