Харди вариация

- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных. Пусть функция f(x) = f(x1,..., х п), п= 2, 3,..., задана на n-мерном параллелепипеде [img: http://localhost:8080/file/052304-90.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052304-91.jpg] Пусть, далее, П - произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями [img: http://localhost:8080/file/052304-92.jpg] на n-мерные параллелепипеды и [img: http://localhost:8080/file/052304-93.jpg] -класс всех функций f(х), для к-рых [img: http://localhost:8080/file/052304-94.jpg] Пусть, теперь [img: http://localhost:8080/file/052304-95.jpg] - целочисленный вектор, координаты к-poro удовлетворяют неравенствам [img: http://localhost:8080/file/052304-96.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052304-97.jpg] - целочисленный вектор размерности п-s такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел 1,..., п, к-рые не содержатся среди [img: http://localhost:8080/file/052304-98.jpg] Тогда каждую точку [img: http://localhost:8080/file/052304-99.jpg] можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/052304-100.jpg] Если координаты [img: http://localhost:8080/file/052304-101.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/052304-102.jpg] фиксированы на значениях [img: http://localhost:8080/file/052304-103.jpg] то будем писать [img: http://localhost:8080/file/052304-104.jpg] Вариация Харди функции f(х)на Dn: [img: http://localhost:8080/file/052304-105.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052304-106.jpg] то говорят, что функция f(х) имеет ограниченную (конечную) X. в. на параллелепипеде Dn, а класс всех таких функций обозначается Н(Dn). Этот класс при n = 2 был введен Г. Харди [1] (см. также [2]) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции f(х 1,x2)класса [img: http://localhost:8080/file/052304-107.jpg] имеющей период 2p по каждой переменной, сходятся в каждой точке (х 1,x2) к числу [img: http://localhost:8080/file/052304-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052304-109.jpg] Для того чтобы функция f(х)входила в класс H(Dn), необходимо н достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f(x) = f1(x)-f2(x). где f1 и f2 такие конечные на Dn функции, что [img: http://localhost:8080/file/052304-111.jpg] k= 2,..., п, при всех [img: http://localhost:8080/file/052304-110.jpg] и допустимых приращениях h1,..., h п. Класс Н(Dn)содержится в классе (Dn)функций, имеющих ограниченную Арцела вариацию на Dn.