Хопфа инвариант

-инвариант гомотопич. класса отображений топологич. пространств. Впервые был определенX. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер [img: http://localhost:8080/file/052307-66.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052307-67.jpg] -непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение симплициальным относительно нек-рых триангуляции сфер Sn и S2n-1. Тогда инвариант Хопфа определяется как зацепления коэффициент(п-1)-мерных непересекающихся подмногообразий f-l (а)и.-l(b)в S2n-1 для любых различных [img: http://localhost:8080/file/052307-68.jpg] Отображение [img: http://localhost:8080/file/052307-69.jpg] определяет элемент [img: http://localhost:8080/file/052307-70.jpg] и образ элемента [f] при гомоморфизме [img: http://localhost:8080/file/052307-71.jpg] совпадает с Х. [img: http://localhost:8080/file/052307-82.jpg] Определение Х. [img: http://localhost:8080/file/052307-85.jpg] - гомоморфизм, индуцированный проекцией [img: http://localhost:8080/file/052307-86.jpg] Пусть дано отображение g: [img: http://localhost:8080/file/052307-87.jpg] заданное стягиванием экватора сферы Sn в точку. Тогда Х. [img: http://localhost:8080/file/052307-88.jpg] при к-ром [img: http://localhost:8080/file/052307-89.jpg] преобразуется в проекцию элемента [img: http://localhost:8080/file/052307-90.jpg] на прямое слагаемое [img: http://localhost:8080/file/052307-91.jpg] в разложении (*). При т=2 п-1, ввиду равенства [img: http://localhost:8080/file/052307-92.jpg] получается обычный Х. [img: http://localhost:8080/file/052307-93.jpg] где р -проекция группы [img: http://localhost:8080/file/052307-94.jpg] на прямое слагаемое [img: http://localhost:8080/file/052307-95.jpg] а гомоморфизмы g* и k* описаны выше. При [img: http://localhost:8080/file/052307-96.jpg] инварианты Хопфа - Уайтхеда Н и Хопфа - Хилтона Н * связаны соотношением [img: http://localhost:8080/file/052307-97.jpg] где S: [img: http://localhost:8080/file/052307-98.jpg] -гомоморфизм надстройки (см. [6]). Пусть дано отображение [img: http://localhost:8080/file/052307-99.jpg] и Cf - его цилиндр. Тогда когомологий [img: http://localhost:8080/file/052307-100.jpg] имеют однородным [img: http://localhost:8080/file/052307-101.jpg] -базисом пару {a, b} с dima=n и dimb=2n. Имеет место соотношение а 2 = Н(f)b(см. [7]). Если пнечетно, то (в силу косокоммутативности умножения и когомологиях) H(f)=0. Имеется (см. [8]) обобщение инварианта Хопфа - Стинрода через обобщенные теории когомологий. Пусть.- полуточный гомотопич. функтор в смысле Дольда (см. [9]), заданный на категории конечных CW -комплексов и принимающий значения в нек-рой абелевой категории А. Тогда отображение комплексов [img: http://localhost:8080/file/052307-102.jpg] определяет элемент [img: http://localhost:8080/file/052307-103.jpg] k(X)), где Ноm - множество морфизмов в А. Инвариант Хопфа - Адамса е(f)определен, когда f*=0 и d(Sf)=0, где Sf: SX [img: http://localhost:8080/file/052307-104.jpg] SY - соответствующее отображение надстроек. В этом случае последовательности корасслоений [img: http://localhost:8080/file/052307-105.jpg] соответствует точная последовательность в А: [img: http://localhost:8080/file/052307-106.jpg] к-рая и определяет инвариант Хопфа - Адамса-Стинрода е(f) = Ехt1 (k(Y), k(X)). В случае функтора [img: http://localhost:8080/file/052307-107.jpg] принимающего значения в категории модулей над Стинрода алгеброй по модулю 2, получается инвариант Хопфа - Стинрода [img: http://localhost:8080/file/052307-108.jpg] отображения f: Sm [img: http://localhost:8080/file/052307-109.jpg] Sn при т> п(см. [7]). Когомологий [img: http://localhost:8080/file/052307-110.jpg] имеют [img: http://localhost:8080/file/052307-111.jpg] -базисом пару { а, b}с dima = n и dim.= m+l, и тогда [img: http://localhost:8080/file/052307-112.jpg] Инвариантом Хопфа Н р по модулю p(р- простое) наз. композиция отображений [img: http://localhost:8080/file/052307-113.jpg] где (X, Y)p - локализация по рпары пространств (см. [10]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/052307-114.jpg] - гомоморфизм надстройки. Тогда H2 (Sf) = H2(f)(см. [10]). X. и. H(f) можно определить и в терминах Штифеля чисел (см. [11]): если М п-1- замкнутое оснащенное многообразие и [img: http://localhost:8080/file/052307-115.jpg] то характеристич. число Штифеля - Уитни wn(v)[V, M] нормального расслоения v совпадает с Х. [img: http://localhost:8080/file/052307-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052307-120.jpg] - кольцо комплексных кобордизмов точки), потому при i = 0, 1, 2, 3 инварианты qi лежат в [img: http://localhost:8080/file/052307-121.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052307-122.jpg] и наз. инвариантами Хопфа-Новикова. При i =1 получается инвариант Адамса. Значения, к-рые может принимать Х. 2, т = 1. С другой стороны, для любого четного числа kсуществует отображение [img: http://localhost:8080/file/052307-126.jpg] с Х.