Хопфа - ринова теорема

если М - связное риманово пространство с функцией расстояния р и Леви-Чивита связностью, то следующие утверждения равносильны: 1) М полно; 2) для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/052307-145.jpg] экспоненциальное отображениеeхр p определено на всем касательном пространстве М р; 3) каждое ограниченное по отношению к р замкнутое множество [img: http://localhost:8080/file/052307-146.jpg] компактно. Следствие: любые две точки р, [img: http://localhost:8080/file/052307-147.jpg] можно соединить на Мгеодезия, длины [img: http://localhost:8080/file/052307-148.jpg] Установлена X. Хопфом и У. Риновым [1]. Обобщение X.- Р. т. (см. [4]): если р, q - две точки в М, то либо существует линия, соединяющая их кратчайшим образом, либо существует выходящая из ргеодезич.. со следующими свойствами: 1) Lгомеоморфна [img: http://localhost:8080/file/052307-149.jpg] 2) если последовательность точек, лежащих на L, не имеет предельных точек на L, то она не имеет предельных точек и в М, т. е. Lзамкнуто в М;3) Lсодержит кратчайшую связь между любыми двумя точками на L; 4) для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/052307-150.jpg] справедливо: [img: http://localhost:8080/file/052307-151.jpg] 5) длина Lконечна и не превосходит [img: http://localhost:8080/file/052307-152.jpg] При этом функция [img: http://localhost:8080/file/052307-153.jpg] не обязана быть симметричной, и каждую точку можно соединить кратчайшим образом с любой точкой из нек-рой окрестности U р не обязательно однозначно. Следствие: если в Мне существует ограниченных лучей, то каждое ограниченное множество в Мкомпактно.