Хотеллинга критерий

Т 2 -критерий,- критерий, предназначенный для проверки гипотезы H0, согласно к-рой истинное значение неизвестного вектора [img: http://localhost:8080/file/052307-154.jpg] математич. ожиданий невырожденного р-мерного нормального закона [img: http://localhost:8080/file/052307-155.jpg] ковариационная матрица к-рого Втоже неизвестна, есть вектор [img: http://localhost:8080/file/052307-156.jpg] X. к. основан на следующем результате. Пусть X1,..., Х п- независимые р -мерные случайные векторы, [img: http://localhost:8080/file/052307-157.jpg] подчиняющиеся невырожденному нормальному закону [img: http://localhost:8080/file/052307-158.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/052307-159.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052307-160.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052307-161.jpg] - оценки максимального правдоподобия для неизвестных параметров [img: http://localhost:8080/file/052307-162.jpg] и В. Тогда статистика [img: http://localhost:8080/file/052307-163.jpg] имеет нецентральное Фишера F-распределение с ри n-р степенями свободы и параметром нецентральности [img: http://localhost:8080/file/052307-164.jpg] статистика Т 2 имеет Хотеллинга Т2 -распределение. Следовательно, для проверки гипотезы [img: http://localhost:8080/file/052307-165.jpg] против альтернативы [img: http://localhost:8080/file/052307-166.jpg] можно по реализациям независимых случайных векторов X1,..., Х п, подчиняющихся невырожденному р-мерному нормальному закону [img: http://localhost:8080/file/052307-167.jpg] вычислить значение статистики F, к-рая при справедливости гипотезы H0 имеет центральное F-распределение с р и п-р степенями свободы. Согласно Х. к. с уровнем значимости [img: http://localhost:8080/file/052307-168.jpg] гипотезу H0, следует отвергнуть, если [img: http://localhost:8080/file/052307-169.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052307-170.jpg] - верхняя [img: http://localhost:8080/file/052307-171.jpg] -квантиль F-распределения. Следует отметить связь, существующую между Х. [img: http://localhost:8080/file/052307-172.jpg] - функция правдоподобия, вычисленная по выборке Х 1,..., Х п. Критерий отношения правдоподобия для проверки сложной гипотезы [img: http://localhost:8080/file/052307-173.jpg] против сложной альтернативы [img: http://localhost:8080/file/052307-174.jpg] построен на статистике [img: http://localhost:8080/file/052307-175.jpg] Между статистикой [img: http://localhost:8080/file/052307-176.jpg] и статистиками Т 2 и F существуют следующие отношения: [img: http://localhost:8080/file/052307-177.jpg] Для проверки гипотезы [img: http://localhost:8080/file/052307-178.jpg] X. к. является равномерно наиболее мощным среди всех критериев, инвариантных относительно преобразований подобия (см. Наиболее мощный критерий, Инвариантный критерий).