Чисел теория

вероятностная - в широком смысле раздел теории чисел, в к-ром используются идеи и методы теории вероятностей. Под вероятностной Ч. т. в узком смысле понимается статистич. теория распределения значений арифметических функций. Подавляющее большинство арифметич. функций, изучаемых в теории чисел, являются аддитивными или мультипликативными, их значения обычно распределены очень сложно. Если проследить за изменением значении таких функций, когда аргумент пробегает последовательные натуральные числа, получится весьма хаотическая картина, к-рая обычно наблюдается при рассмотрении аддитивных свойств целых чисел совместно с мультипликативными. В классич. исследованиях при рассмотрении распределения значений действительных арифметич. функций f(m)обычно изучалось асимптотич. поведение самой функции f(т) или ее среднего значения. В первом случае ищутся простые функции [img: http://localhost:8080/file/052506-6.jpg] чтобы было [img: http://localhost:8080/file/052506-7.jpg] для всех тили хотя бы для всех достаточно больших т. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/052506-8.jpg] означает число всех различных простых делителей числа т, то [img: http://localhost:8080/file/052506-9.jpg] для всех т>1, [img: http://localhost:8080/file/052506-10.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052506-11.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052506-12.jpg] Во втором случае рассматривается поведение [img: http://localhost:8080/file/052506-13.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/052506-14.jpg] среднее значение (1) равно (1+о(1) ln lnn). Решение как первой, так и второй задачи в общем случае дает мало информации о поведении функции f(m), об ее колебаниях. Функция может значительно отклоняться от своего среднего значения. При этом оказывается, что большие отклонения встречаются вообще довольно редко. Ставится задача отыскания границ, в к-рых могут колебаться значения функции f(m)для подавляющего большинства значении аргумента. Если f(m) - действительная аддитивная арифметич. функция, [img: http://localhost:8080/file/052506-15.jpg] где суммы берутся по простым числам. ипо степеням простых чисел [img: http://localhost:8080/file/052506-16.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052506-17.jpg] где с - абсолютная константа. Следовательно, для любого t>0 и всех [img: http://localhost:8080/file/052506-18.jpg] за исключением [img: http://localhost:8080/file/052506-19.jpg] чисел, имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/052506-20.jpg] (аналог теоретико-вероятностного больших чисел закона). Для функции [img: http://localhost:8080/file/052506-21.jpg] это неравенство можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/052506-22.jpg] Пусть через Nn(...) обозначено число натуральных [img: http://localhost:8080/file/052506-23.jpg] удовлетворяющих условиям, к-рые будут указываться в скобках вместо многоточия. Желая более точно охарактеризовать распределение значении действительных арифметич. функций f(т), приходят к рассмотрению асимптотич. поведения частоты [img: http://localhost:8080/file/052506-24.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052506-25.jpg] где Е - любое борелевское множество. Среди асимптотич. законов для (3) наибольший интерес представляют законы двух типов: интегральные и локальные. Интегральные законы. Изучается асимптотич. поведение функции распределения [img: http://localhost:8080/file/052506-26.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052506-27.jpg] и ладанных С п, Dn. В случае арифметических аддитивных функции ищутся условия, при к-рых Fn(Cn+Dnx) стремится к нек-рой функции распределения F(х)во всех ее точках непрерывности. При этом, если F(х)нe вырождены, то Dn обязательно должно стремиться к конeчному (отличному от 0) или бесконечному пределу. В случае конечного предела достаточно ограничиться рассмотрением Fn(Cn+x). Для того чтобы Fn(Cn+x) с какими-либо С n при [img: http://localhost:8080/file/052506-28.jpg] имела невырожденное предельное распределение, необходимо и достаточно, чтобы f(т) имела вид [img: http://localhost:8080/file/052506-29.jpg] где а - константа, а функция g(m)удовлетворяет условиям [img: http://localhost:8080/file/052506-30.jpg] При этом С n должны быть равными [img: http://localhost:8080/file/052506-31.jpg] С - константа. Выбор С п однозначен с точностью до слагаемых C+o(l). Предельное распределение является дискретным, когда [img: http://localhost:8080/file/052506-32.jpg] и непрерывным в противном случае. В частности, Fn(x)(случай С n=0) тогда и только тогда имеет предельное распределение, когда сходятся ряды [img: http://localhost:8080/file/052506-33.jpg] (аналог теоретико-вероятностной теоремы о трех рядах). Случай [img: http://localhost:8080/file/052506-34.jpg] не исследован до конца. Ниже приведены нек-рые наиболее простые результаты, когда С п=А п и Dn= Bn определены формулами (2). Если для всякого фиксированного [img: http://localhost:8080/file/052506-35.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052506-36.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052506-37.jpg] (аналог условия Линдеберга, см. Линдеберга - Феллера теорема), то [img: http://localhost:8080/file/052506-38.jpg] (нормальный закон). Если выполнено (4), то В п является медленно меняющейся функцией от ln. в смысле Карамата. Более того, если Bn является такой функцией, то для справедливости (5) условие (4) является необходимым. Пусть Bn является медленно меняющейся функцией от ln п. Для того чтобы Fn(А п+ В п х)сходилась к предельному распределению с дисперсией 1, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая функция [img: http://localhost:8080/file/052506-39.jpg] что при [img: http://localhost:8080/file/052506-40.jpg] для всех и, за исключением, быть может, u=0, [img: http://localhost:8080/file/052506-41.jpg] Характеристич. функция j(t) предельного закона в случае его существования определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/052506-42.jpg] Изучается быстрота сходимости к предельному закону. Так, напр., если f(т)- сильно аддитивная функция и [img: http://localhost:8080/file/052506-44.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052506-43.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052506-45.jpg] равномерно по x. Для мультипликативных арифметич. функций имеют место аналогичные результаты. Локальные законы. Изучается поведение при [img: http://localhost:8080/file/052506-46.jpg] частоты [img: http://localhost:8080/file/052506-47.jpg] при заданных с. В случае действительных аддитивных арифметич. функций эта частота всегда имеет предел, к-рый отличен от 0 лишь для не более чем счетного множества значений с. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052506-48.jpg] - не равные нулю пределы, причем хотя бы один такой предел существует. Тогда [img: http://localhost:8080/file/052506-49.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052506-50.jpg] Если f(т) принимает лишь целые значения, [img: http://localhost:8080/file/052506-51.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052506-52.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/052506-53.jpg] Изучается скорость сходимости к [img: http://localhost:8080/file/052506-54.jpg] Существует такая абсолютная константа С, что для всех целых kи всех целозначных аддитивных арифметич. функций f(т) с условием f(р)=0 для всех простых р [img: http://localhost:8080/file/052506-55.jpg] Изучается также асимптотич. поведение частоты [img: http://localhost:8080/file/052506-56.jpg] когда kn может расти вместе с п.