Шварца лемма

если функция f(z) регулярна в круге E={|z|<1 }, f(0)=0 и [img: http://localhost:8080/file/052601-98.jpg] в E, то при [img: http://localhost:8080/file/052601-99.jpg] справедливы неравенства [img: http://localhost:8080/file/052601-100.jpg] причем знаки равенства в них (в первом из неравенств (1) при [img: http://localhost:8080/file/052601-101.jpg] имеют место только в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/052601-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052601-103.jpg] -действительная постоянная (классическая форма Ш. л.). Эта лемма была доказана Г. Шварцем (см. [1]). Известны различные формы Ш. л. Напр., инвариантная форма Ш. л.: если функция f(z) регулярна в круге. и [img: http://localhost:8080/file/052601-104.jpg] в Е, то для любых точек [img: http://localhost:8080/file/052601-105.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/052601-106.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052601-107.jpg] -гиперболич. расстояние между точками а, Ь в круге E(см. Гиперболическая метрика);кроме того, при [img: http://localhost:8080/file/052601-108.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/052601-109.jpg] при этом знаки равенства в (2) и (3) имеют место только в случае, когда f(z) - дробно-линейное отображение круга Ена себя. Неравенство (3) наз. также дифференциальной формой Ш. л. Интегрирование этого неравенства приводит к следующей формулировке Ш. л: при отображении круга Е с помощью регулярной функции f(z), для к-рой |f(z)|<1 при [img: http://localhost:8080/file/052601-110.jpg] гиерболич. длина произвольной дуги в Еуменьшается, за исключением того случая, когда f(z) реализует однолистное конформное отображение круга Ена себя, в этом случае гипeрболич. расстояния между точками Eсохраняются. Обобщением инвариантной формы Ш. л. на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. метрика, служит гиперболической метрики принцип. Известны аналоги Ш. л. для голоморфных отображений в n-мерном комплексном пространстве [img: http://localhost:8080/file/052601-111.jpg] (см. [4]).