Шевалле группа

-линейная алгебраич. группа над нек-рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052602-21.jpg] -Ли полупростая алгебра над [img: http://localhost:8080/file/052602-22.jpg] -ее подалгебра Картана, [img: http://localhost:8080/file/052602-23.jpg] -система корней алгебры [img: http://localhost:8080/file/052602-24.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/052602-25.jpg] -система простых корней, [img: http://localhost:8080/file/052602-26.jpg] -базис Шевалле алгебры [img: http://localhost:8080/file/052602-29.jpg] - его линейная оболочка над [img: http://localhost:8080/file/052602-27.jpg] И пусть [img: http://localhost:8080/file/052602-28.jpg] -точное представление алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/052602-30.jpg] в конечномерном векторном пространстве V. Оказывается, что в. существует решетка (т. е. свободная абелева подгруппа, базис к-рой является базисом пространства V), инвариантная относительно всех операторов [img: http://localhost:8080/file/052602-31.jpg] m-натуральное число). Если k- произвольное поле и [img: http://localhost:8080/file/052602-32.jpg] то определены гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/052602-33.jpg] заданные формулами [img: http://localhost:8080/file/052602-34.jpg] Подгруппы [img: http://localhost:8080/file/052602-35.jpg] порождают в GL (Vk) нек-рую подгруппу Gk, к-рая и наз. группой Шевалле, связанной с алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/052602-36.jpg] представлением [img: http://localhost:8080/file/052602-37.jpg] полем k. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/052602-38.jpg] (присоединенное представление), Ш. г. были определены К. Шевалле (С. Chevalley) в 1955 (см. [1]). Если К - алгебраически замкнутое поле, содержащее k, то Ш. г. С K есть связная полупростая линейная алгебраич. группа над К. определенная и разложимая над простым подполем [img: http://localhost:8080/file/052602-39.jpg] Ее алгебра Ли изоморфна [img: http://localhost:8080/file/052602-40.jpg] Группа Gk является коммутантом группы GK(k) точек группы GK, рациональных над k. Любая связная полупростая линейная алгебраич. группа над K изоморфна одной из Ш. г. Алгебраич. группы GK (и Gk как абстрактные группы) зависят лишь от решетки [img: http://localhost:8080/file/052602-41.jpg] порожденной весами представления [img: http://localhost:8080/file/052602-42.jpg] Если Г j совпадает с решеткой корней Г 0, то GK наз. присоединенной группой, а еели [img: http://localhost:8080/file/052602-43.jpg] =Г 1 (решетка весов, см. Ли полупростая группа), то GK наз. универсальной, или односвяаной, группой. Если GK- универсальна, то Gk = GK(k). Ш. г. GK всегда совпадает со своим коммутантом. Центр группы Gk конечен. Напр., центр Zуниверсальной группы Gk изоморфен Ноm (Г 1/Г 0, k*), а соответствующая присоединенная группа изоморфна Gk/Z и имеет тривиальный центр. Если алгебра [img: http://localhost:8080/file/052602-44.jpg] проста, то присоединенная Ш. г. Gk проста, за исключением следующих случаев: |k| =2, [img: http://localhost:8080/file/052602-45.jpg] - алгебра Ли типов A1, B2, G2; |k|=3, [img: http://localhost:8080/file/052602-46.jpg] -алгебра Ли типа А 1. Другие серии простых групп можно получить, рассматривая подгруппы неподвижных точек нек-рых автоморфизмов конечного порядка Ш. г. (т. н. скрученные группы). Если поле k конечно, то порядок универсальной группы Gk вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/052602-47.jpg] где q = |k|, di(i = l,..., r) - показатели алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/052602-48.jpg] т. е. степени свободных образующих алгебры многочленов на [img: http://localhost:8080/file/052602-49.jpg] инвариантных относительно Вейля группы, [img: http://localhost:8080/file/052602-50.jpg] - число положительных корней. Имеется развитая теория рациональных линейных представлений Ш. г. Gk над бесконечным полем k, сводящаяся к случаю алгебраически замкнутого поля, а в последнем случае совпадающая с теорией рациональных представлений полупростых алгебраич. групп. Если [img: http://localhost:8080/file/052602-51.jpg] проста, Gk- универсальная Ш. г. над бесконечным полем. и [img: http://localhost:8080/file/052602-52.jpg] -нетривиальное неприводимое конечномерное представление группы Gk (как абстрактной группы) над алгебраически замкнутым полем K, то, существуют такой конечный набор вложений [img: http://localhost:8080/file/052602-53.jpg] и такой набор рациональных представлений [img: http://localhost:8080/file/052602-54.jpg] групп что [img: http://localhost:8080/file/052602-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052602-56.jpg] По поводу представлений Ш. г. см. также [2], [3], [5].