Шрёдингера уравнение

- основное уравнение квантовой механики, определяющее вместе с соответствующими дополнительными условиями волновую функцию [img: http://localhost:8080/file/052603-10.jpg] характеризующую состояние и микроскопия, свойства квантовой системы. Для нерелятивистской системы частиц без спина сформулировано Э. Шрёдингером (Е. Schrodinger, 1926). Оно имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052603-11.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052603-12.jpg] -оператор Гамильтона, образованный по общему правилу: в классич. функции Гамильтона Н(р, r)импульсы частиц ри их координаты. заменены на операторы, имеющие, в частности, в координатном (q=r1,..., rN) и импульсном [img: http://localhost:8080/file/052603-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052603-14.jpg] представлениях соответствующий вид [img: http://localhost:8080/file/052603-15.jpg] Для заряженных частиц в электромагнитном поле, характеризуемом векторным потенциалом A(t, r), величина. заменяется на [img: http://localhost:8080/file/052603-16.jpg] В этих представлениях Ш. у. представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными, напр. для частицы в поле U(r) [img: http://localhost:8080/file/052603-17.jpg] Возможны дискретные представления, в к-рых [img: http://localhost:8080/file/052603-18.jpg] -функция многокомпонентна, а оператор [img: http://localhost:8080/file/052603-19.jpg] имеет вид матрицы. Если волновая функция определена в пространстве чисел заполнения, то оператор [img: http://localhost:8080/file/052603-20.jpg] выражается с помощью определенных комбинаций операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования). Обобщение Ш. у. на случай нерелятивистской частицы со спином (двухкомпонентная функция [img: http://localhost:8080/file/052603-21.jpg] наз. уравнением Паули (1927), на случай релятивистской частицы со спином 1/2 (четырехкомпонентная [img: http://localhost:8080/file/052603-22.jpg] -функция) - уравнением Дирака (1928), на случай релятивистской бесспиновой частицы уравнением Клейна - Гордона (1926), со спином 1 [img: http://localhost:8080/file/052603-23.jpg] -функция - вектор) - уравнением Прока (1936) и т. д. Решение Ш. у. определяется в классе функций, удовлетворяющих условию нормировки [img: http://localhost:8080/file/052603-24.jpg] при всех значениях t, где скобки означают интегрирование или суммирование по всем значениям переменных q. Для нахождения решения необходимо сформулировать начальные и граничные условия, соответствующие характеру рассматриваемой задачи. Наиболее характерные типы таких задач: 1) Стационарное Ш. у. и определение допустимых значений энергии системы. Полагая [img: http://localhost:8080/file/052603-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052603-26.jpg] и требуя в соответствии с условием нормировки и условием отсутствия потоков на бесконечности обращения в нуль волновой функции и ее градиентов при [img: http://localhost:8080/file/052603-27.jpg] приходят к ypавнению на собственные значения Е п и собственные функции [img: http://localhost:8080/file/052603-28.jpg] оператора Гамильтона: [img: http://localhost:8080/file/052603-29.jpg] Характерные примеры точного решения этой проблемы: собственные функции и уровни энергии для гармонич. осциллятора, атома водорода и т. д. 2) Квантовомеханич. задача рассеяния. Ш. у. решается с граничными условиями, соответствующими на большом расстоянии от центра рассеяния (описываемого потенциалом U(r))падающей на него плоской и расходящейся от него сферич. волнам. С учетом такого граничного условия Ш. у. можно записать в виде интегрального уравнения, первая итерация к-рого по члену, содержащему U(r), соответствует т. н. борновскому приближению. Это уравнение можно представить в виде формального решения, к-рое называют также уравнением Липпмана - Швингера. 3) Случай, когда гамильтониан системы зависит от времени, H=H0(р, r)+U(t, р, r), обычно рассматривается в рамках временной теории возмущений. Это - теория квантовых переходов, определение реакции системы на внешнее возмущение (динамич. восприимчивость) и характеристик релаксационных процессов. Для решения Ш. у. обычно используют приближен ные методы, регулярные (различного типа теории возмущений), вариационные и т. д.