Штейна пространство

голоморфно полное пространство,- паракомпактноо комплексное аналитич. ространство [img: http://localhost:8080/file/052603-47.jpg] обладающее следующими свойствами: 1) любое компактное аналитич. одмножество в Xконечно; 2) любой компакт [img: http://localhost:8080/file/052603-48.jpg] допускает такую открытую окрестность Wв X, что множество [img: http://localhost:8080/file/052603-49.jpg] компактно (слабая голоморфная выпуклость). Комплексное многообразие Мтогда и только тогда является Ш. п., когда М - Штейна многообразие. Комплексное пространство является Ш. п. тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его редукция. Всякое голоморфно выпуклое открытое подпространство в Ш. п. является Ш. п. Приведенное комплексное пространство штейново тогда и только тогда, когда его нормализация есть III. п. Всякое замкнутое аналитич. одпространство в Ш. п., напр. в [img: http://localhost:8080/file/052603-50.jpg] есть Ш. п. Всякое конечномерное Ш. п. допускает собственное инъективное голоморфное отображение в нек-рое [img: http://localhost:8080/file/052603-51.jpg] регулярное в каждой неособой точке. Всякое неразветвленное накрытие Ш. п. есть Ш. п. Прямое произведение двух Ш. п. есть Ш. п. Тем же свойством обладает во многих случаях голоморфное расслоение, база и слой к-рого суть III. п. (напр., если структурной группой является комплексная группа Ли с конечным числом связных компонент). Однако существуют примеры голоморфных расслоений со слоем [img: http://localhost:8080/file/052603-52.jpg] и базой [img: http://localhost:8080/file/052603-53.jpg] не являющихся многообразиями Штейна [2]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052603-54.jpg] -когерентный аналитич. чок на Ш. п. [img: http://localhost:8080/file/052603-55.jpg] Тогда справедливы Картана теоремы,: A) Пространство [img: http://localhost:8080/file/052603-56.jpg] порождает слой [img: http://localhost:8080/file/052603-59.jpg] пучка [img: http://localhost:8080/file/052603-57.jpg] в любой точке [img: http://localhost:8080/file/052603-58.jpg] B) [img: http://localhost:8080/file/052603-60.jpg] для всех q> 0. Обратно, если [img: http://localhost:8080/file/052603-61.jpg] для любого когерентного пучка идеалов [img: http://localhost:8080/file/052603-62.jpg] то X - Ш. п. Область [img: http://localhost:8080/file/052603-63.jpg] является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/052603-64.jpg] Из теорем Картана следует, что на Ш. п. всегда разрешима 1-я проблема Кузена, а если [img: http://localhost:8080/file/052603-65.jpg] -то и 2-я проблема Кузена (см. Кузена проблемы). На любом многообразии Штейна Xразрешима проблема Пуанкаре, т. п,aгруппа [img: http://localhost:8080/file/052603-72.jpg] не имеет кручения. Если X - многообразие, то Xгомотопически эквивалентно n-мерному клеточному комплексу. С другой стороны, для любой счетной а белевой группы Gи для любого [img: http://localhost:8080/file/052603-73.jpg] существует область голоморфности [img: http://localhost:8080/file/052603-74.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/052603-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052603-76.jpg] G Важное направление в теории Ш. п. связано с изучением плюрисубгармонич. функций на них (см. Левви проблема, Псевдовыпуклость и псевдовогнутость). Основной результат здесь состоит в характеризации Ш. н. как пространства, на к-ром существует исчерпывающая ого сильно 1-псевдовыпуклая функция. Алгебры голоморфных функций [img: http://localhost:8080/file/052603-77.jpg] на Ш. п. X(т. н. штейновы алгебры) обладают следующими свойствами. Для максимального идеала [img: http://localhost:8080/file/052603-78.jpg] эквивалентны условия: I замкнут в [img: http://localhost:8080/file/052603-79.jpg] относительно топологии компактной сходимости; [img: http://localhost:8080/file/052603-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052603-81.jpg] для нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/052603-82.jpg] I конечно порожден. Если Xконечномерно, то каждый характер [img: http://localhost:8080/file/052603-83.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052603-84.jpg] для нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/052603-85.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052603-86.jpg] - два конечномерных Ш. п. с изоморфными алгебрами [img: http://localhost:8080/file/052603-87.jpg] причем любой изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052603-88.jpg] 'непрерывен и индуцируется нек-рым изоморфизмом [img: http://localhost:8080/file/052603-89.jpg] комплексных пространств. Большую роль в теории III. и. играет т. н. принцип Ока, согласно к-рому многие задачи разрешимы на Ш. п. в классе аналитич. ций тогда и только тогда, когда они разрешимы в классе гладких непрерывных функций. Этому принципу удовлетворяет, напр., 2-я проблема Кузена. Более общим является следующее утверждение: классификация главных аналитических расслоений, базой к-рых является заданное приведенное Ш. п. X, а структурной группой - заданная комплексная группа Ли G, совпадает с классификацией тонологич. расслоений с той же базой и структурной группой. Совпадают также группы связных компонент в группах аналитических и непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/052603-90.jpg]