Штурма - Лиувилля оператор

самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением [img: http://localhost:8080/file/052605-56.jpg] и подходящими граничными условиями в гильбертовом пространстве L2(а, b), где (а, b) - конечный или бесконечный интервал, р', р, q- непрерывные действительные функции и р(х)>0 при всех [img: http://localhost:8080/file/052605-57.jpg] (иногда так называют любой оператор, порожденный квазидифференциальным выражением вида l).Начиная с 1830 Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Диувилль (J. Liouville) опубликовали ряд фундаментальных исследований по теории Штурма - Лиувчлля задачи на конечном интервале. Точка а наз. регулярным концом, если. конечно, [img: http://localhost:8080/file/052605-58.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052605-59.jpg] В противном случае эта точка наз. сингулярным концом. Выражение lназ. регулярным или сингулярным в зависимости от того, являются ли оба конца интервала (а, b)регулярными или нет. Пусть D1 - множество функций [img: http://localhost:8080/file/052605-60.jpg] таких, что f' - абсолютно непрерывна и [img: http://localhost:8080/file/052605-61.jpg] - подмножество D1, состоящее из финитных функций. Пусть, далее, [img: http://localhost:8080/file/052605-62.jpg] и L0 - замыкание оператора [img: http://localhost:8080/file/052605-63.jpg] оператор L0 является симметрич. оператором и L0=L1. Ш.- Л. о. является расширением (сужением) оператора L(L1). I. Пусть lрегулярен, векторы [img: http://localhost:8080/file/052605-64.jpg] линейно независимы и [img: http://localhost:8080/file/052605-65.jpg] Тогда множество всех функций [img: http://localhost:8080/file/052605-66.jpg] удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/052605-67.jpg] i = l, 2, есть область определения нек-рого III.- Л. о. Обратно, область определения всякого Ш.- Л. о. можно найти этим способом. Среди граничных условий важное место занимают разделенные граничные условия (или граничные условия типа Штурма): [img: http://localhost:8080/file/052605-68.jpg] и смешанные граничные условия: [img: http://localhost:8080/file/052605-69.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052605-70.jpg] В частности, если р(a)=р(b), то в случае [img: http://localhost:8080/file/052605-71.jpg] условия (5) наз. периодическими, а в случае [img: http://localhost:8080/file/052605-72.jpg] - антипериодическими (или полупериодическими). II. Пусть l сингулярен. Случай, когда оба конца (а, b)сингулярны, приводится к случаю с одним сингулярным концом методом расщепления. III. Пусть конец арегулярен, а. сингулярен и пусть число независимых решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/052605-73.jpg] принадлежащих L2(a, b), равно 1. Тогда говорят, что выражение lпринадлежит случаю предельной точки Войля в точке b. Область определения Ш.- Л. о. задается граничным условием (3). II2. Если число линейно независимых решений уравнения l[f] = if принадлежащих L.2(a, b), равно 2, то говорят, что выражение lпринадлежит случаю предельного круга Вейля в точке 6. Оператор L0 в этом случае имеет индексы дефекта (2,2). Область определения Ш.- Л. о. описывается аналогично I, заменяя условия (2) следующим образом: р(b) следует заменить на p(а), f(b) и f'(b)соответственно на (Sf)1(b) и (Sf)2(b), где [img: http://localhost:8080/file/052605-74.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/052605-75.jpg] - вронскиан функций [img: http://localhost:8080/file/052605-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052605-77.jpg] в точке х, и i, i =1,2,- решения уравнения l [f]=0 с начальными условиями [img: http://localhost:8080/file/052605-78.jpg] - символ Кронекера. Ядром резольвенты Ш.- Л. о. является Карлемана ядро, причем и случаях I и II2 резольвента является Гильберта - Шмидта интегральным оператором, а в случае II1 таковым может быть или не быть. Спектральное разложение Ш.- Л. о. в случае дискретности спектра (напр., в случаях I и II2) аналогично разложению в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля, а н остальных случаях содержит собственные функции, не принадлежащие L2(a, b). Большой интерес представляют задачи отыскания условий на коэффициенты ри q, при к-рых спектр III.- Л. о. дискретен, заполняет всю ось, выражение lпринадлежит случаю предельной точки или предельного круга. Достаточно общие необходимые и достаточные условия на р и q, обеспечивающие принадлежность. к случаю предельного круга или предельной точки (b = [img: http://localhost:8080/file/052605-79.jpg] неизвестны (1984).