Штёрмера метод

метод Стёрмера,- конечно разностный метод решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, не содержащей первой производной от неизвестной функции: [img: http://localhost:8080/file/052603-101.jpg] При интегрировании по сетке с постоянным шагом xn=x0+nh, n=1, 2,..., расчетные формулы имеют вид: а) экстраполяционные: [img: http://localhost:8080/file/052603-102.jpg] или (в разностной форме) [img: http://localhost:8080/file/052603-103.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052603-104.jpg] б) интерполяционные: [img: http://localhost:8080/file/052603-105.jpg] или (в разностной форме) [img: http://localhost:8080/file/052603-106.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052603-107.jpg] Первые значения коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/052603-108.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052603-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052603-110.jpg] При одном и том же kформула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения у п+1. На практике сначала находят приближенное значение решения yn+1 по формуле а), а затем проводят два-три уточнения но формуле [img: http://localhost:8080/file/052603-111.jpg] Применение Ш. м. предполагает, что уже известны приближенные значения решения в первых kузлах сетки: у 0, y1,..., у k (опорные значения). Эти значения вычисляют по Рунге - Кутта методу, либо используя разложение решения по формуле Тейлора. Необходимость использования специальных формул для вычисления значений в начале счета и в случае изменения шага сетки, по к-рой ведется интегрирование, приводит к существенному усложнению расчетных программ на ЭВМ. Формулы Ш. м. с kчленами в правой части имеют погрешность порядка О(hk+1). Оценка погрешности аналогична соответствующей оценке для Адамса метода. Можно показать, что для любого kсуществуют устойчивые формулы с погрешностью порядка О(hk+1). На практике обычно используются формулы с k=4, 5, 6. Широко используется Нумерова метод, принадлежащий к семейству интерполяционных Ш. м.: [img: http://localhost:8080/file/052603-112.jpg] Метод предложен К. Штёрмером (С. Stermer, 1920).