Эйлера преобразование

1) Э. п. рядов: если дан числовой ряд [img: http://localhost:8080/file/053101-122.jpg] то ряд [img: http://localhost:8080/file/053101-123.jpg] наа. рядом, полученным из ряда (1) Э. п. рядов. Здесь [img: http://localhost:8080/file/053101-124.jpg] Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2) и притом к той же сумме, что и ряд (1). Если ряд (2) сходится (в этом случае ряд (1) может расходиться), то ряд (1) наз. суммируемым по Эйлеру. Если ряд (1) сходится, an>0, для всех k=0,1, 2,... последовательность [img: http://localhost:8080/file/053101-125.jpg] монотонная и [img: http://localhost:8080/file/053101-126.jpg] то сходимость ряда (2) быстрее сходимости ряда (1) (см. Сходимость). Л. Д, Кудрявцев. 2) Э. п.- интегральное преобразование вида [img: http://localhost:8080/file/053101-127.jpg] где С - контур в комплексной плоскости с. Предложено Л. Эйлером (L. Euler, 1769). Э. п, применяется к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям [img: http://localhost:8080/file/053101-128.jpg] где Qj(z) - многочлен степени [img: http://localhost:8080/file/053101-129.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053101-130.jpg] - константа. В таком виде можно представить любое линейное уравнение [img: http://localhost:8080/file/053101-131.jpg] где Pj(z) - многочлены степени [img: http://localhost:8080/file/053101-132.jpg] степень Pn(z) равна n. Уравнение [img: http://localhost:8080/file/053101-133.jpg] наз. преобразованием Эйлера уравнения (2), Если w(z)определена формулой (1), причем [img: http://localhost:8080/file/053101-134.jpg] то справедливо тождество [img: http://localhost:8080/file/053101-135.jpg] при условии, что внеинтегральная подстановка, к-рая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если M(v)=0, то w(z) - решение уравнения (2). Э. п. позволяет понизить порядок уравнения (2), если [img: http://localhost:8080/file/053101-136.jpg] при j>q, q<п. При q=0, q=1уравнение (2) интегрируется (см. Похгаммера уравнение).