Эйри функции

- частные решения Эйри уравнения. Первая Э. ф. (или просто Э. ф.) определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/053102-115.jpg] При комплексных z [img: http://localhost:8080/file/053102-116.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053102-117.jpg] - контур в комплексной плоскости t. Вторая Э. ф. определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/053102-118.jpg] Функции Ai(х),Bi(x)действительны при действительных х. Другой набор Э. ф. ввел В. А. Фок: [img: http://localhost:8080/file/053102-119.jpg] v(z)в этом случае наз. функцией Эйри - Фока. Справедливы тождества: [img: http://localhost:8080/file/053102-120.jpg] Любые две из Э, ф. v(z), w1(z), w2(z) линейно независимы. Наиболее важна из Э. ф. v(z) (или Ai (z)). Ее асимптотич. поведение на действительной оси таково: [img: http://localhost:8080/file/053102-121.jpg] так что v(x)быстро убывает при [img: http://localhost:8080/file/053102-122.jpg] и сильно осциллирует при [img: http://localhost:8080/file/053102-123.jpg] Функции w1(z), w2(z)экспоненциально растут при х->oo(бесконечность). Для Э. ф. справедливы асимптотич. разложения при комплексных z, [img: http://localhost:8080/file/053102-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053102-125.jpg] Для функции w2(2) справедливо асимптотич. разложение (2), но в секторе [img: http://localhost:8080/file/053102-126.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/053102-127.jpg] - любое, ветви [img: http://localhost:8080/file/053102-128.jpg] положительны на полуоси [img: http://localhost:8080/file/053102-129.jpg] асимптотич. разложения равномерны по arg z и их можно почленно дифференцировать любое число раз. В оставшемся секторе [img: http://localhost:8080/file/053102-130.jpg] асимптотич. разложение функции v(z)выражается через асимптотич. разложения функций w1(z), w2(z) c помощью (1), так что ее асимптотич. разложение имеет разный вид в разных секторах комплексной плоскости z. Этот факт был впервые установлен Дж. Стоксом [2] и наз. явлением Стокcа. Э. ф. возникают при исследовании интегралов от быстроосциллирующих функций: [img: http://localhost:8080/file/053102-131.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053102-132.jpg] Здесь f,S - гладкие функции, Sдействительна, [img: http://localhost:8080/file/053102-133.jpg] - действительный параметр. Пусть при малых [img: http://localhost:8080/file/053102-134.jpg] фаза. имеет две близкие невырожденные стационарные точки [img: http://localhost:8080/file/053102-135.jpg] к-рые совпадают при [img: http://localhost:8080/file/053102-136.jpg] напр., [img: http://localhost:8080/file/053102-137.jpg] Тогда при малых [img: http://localhost:8080/file/053102-138.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/053102-139.jpg] вклад в асимптотику интеграла от окрестности точки х=0выражается через Э. ф. vи ее производную (см. [6]). Такого рода интегралы возникают при исследовании коротковолновых полей вблизи простой каустики (см. [7], [8]); Э. ф. возникли в связи с исследованием этой задачи [1]. Пусть рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/053102-140.jpg] где q(x) - гладкая на отрезке I=[ а, b]действительнозначная функция, [img: http://localhost:8080/file/053102-141.jpg] - большой параметр. Нули функции q(x)наз. точками поворота (или точками перехода) уравнения (3). Пусть [img: http://localhost:8080/file/053103-1.jpg] (такая точка наз. простой), [img: http://localhost:8080/file/053103-2.jpg] Положим [img: http://localhost:8080/file/053103-3.jpg] Уравнение (3) имеет линейно независимые решения y0 (х), y1(x)такие, что при [img: http://localhost:8080/file/053103-4.jpg] равномерно по x [img: http://localhost:8080/file/053103-5.jpg] Этот результат обобщен в следующих направлениях: получены асимптотич. ряды для решений; исследован случай [img: http://localhost:8080/file/053103-6.jpg] (напр., [img: http://localhost:8080/file/053103-7.jpg] разлагается в асимптотич. ряд [img: http://localhost:8080/file/053103-8.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053103-9.jpg] исследована асимптотика решений вблизи кратных точек поворота. Другие обобщения относятся к уравнению [img: http://localhost:8080/file/053103-10.jpg] где q(z) - аналитическая в области Dкомплексной плоскости z функция. Пусть l - максимальная связная компонента линии уровня [img: http://localhost:8080/file/053103-11.jpg] выходящая из точки поворота z0 и не содержащая других точек поворота; тогда l наз. линией Стокcа. Если q=-z (т. е. (4) есть уравнение Эйри), то линии Стокса - лучи [img: http://localhost:8080/file/053103-12.jpg] Аналогично, если z0 - простая точка поворота уравнения (4), то из неё выходят три линии Стокса l1, l2, l3 и угол между соседними линиями в точке z0 равен [img: http://localhost:8080/file/053103-13.jpg] Пусть Sj- окрестность точки z0, из к-рой удалена окрестность линии Стокса lj, j=1,2, 3. При подходящей нумерации Sj уравнение (4) имеет три решения [img: http://localhost:8080/file/053103-14.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/053103-15.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053103-16.jpg] Э. ф. возникают также при исследовании асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка и систем вблизи простейших точек поворота.