Эллиптическая кривая

- неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций. Примеры. Неособая проективная плоская кубич. кривая, пересечение двух неособых квадрик в трехмерном проективном пространстве, двулистное накрытие проективной прямой, разветвленное ровно в четырех точках, а также одномерное абелево многообразие и главное однородное пространство над ним являются Э. к. Геометрия Э. к. Пусть X - Э. к. над алгебраически замкнутым полем k. Тогда Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой (см. [1], [9], [13]). Если [img: http://localhost:8080/file/053107-20.jpg] то в проективной плоскости Р 2 существует аффинная система координат, в к-рой Xимеет уравнение в нормальной форме Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/053107-21.jpg] Кривая Xнеособа тогда и только тогда, когда многочлен х 3+ах+b не имеет кратных корней, т. е. дискриминант [img: http://localhost:8080/file/053107-22.jpg] В Р 2 кривая (1) имеет единственную точку на бесконечности, к-рую обозначают Р 0; Р0 - точка перегиба кривой (1), а касательная в P0 - бесконечно удаленная прямая, j-инвариант Э. к. X [img: http://localhost:8080/file/053107-23.jpg] не зависит от выбора системы координат. Равенство j-инвариантов двух Э. к. равносильно тому, что эти Э. к. бирегулярно изоморфны. Для любого [img: http://localhost:8080/file/053107-24.jpg] найдется Э. к. Xнад kс j(X)=j. Групповая структура на Э. к. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053107-25.jpg] - фиксированная точка Э. к. X. Отображение [img: http://localhost:8080/file/053107-26.jpg] сопоставляющее точке [img: http://localhost:8080/file/053107-27.jpg] дивизор Р-Р0 на Э. к. X, устанавливает взаимно однозначное соответствие между Э. к. Xи группой [img: http://localhost:8080/file/053107-28.jpg] классов дивизоров степени 0 на X, т. е. Пикара многообразием кривой X. Это соответствие переносит на Xструктуру коммутативной группы, к-рая согласована со структурой алгебраич. многообразия и превращает X в одномерное абелево многообразие (X, Р0); точка Р 0 при этом является нулем группы. Введенная групповая структура допускает следующее геометрич. описание. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053107-29.jpg] - плоская кубич. кривая. Тогда сумма точек Ри Qопределяется правилом [img: http://localhost:8080/file/053107-30.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053107-31.jpg] - третья точка пересечения кривой Xс прямой, проходящей через точки Ри Q. Иначе говоря, сумма трех точек на Xравна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одном прямой. Э. к. как одномерное абелево многообразие. Пусть п X обозначает эндоморфизм умножения на [img: http://localhost:8080/file/053107-32.jpg] в (X, Р 0). Если (Y, Q0) - Э. к. с отмеченной точкой Q0,то любое рациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/053107-33.jpg] имеет вид f(P) = h(P)+Q1, где [img: http://localhost:8080/file/053107-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053107-35.jpg] - гомоморфизм абелевых многообразий. При этом гомоморфизм hявляется либо постоянным отображением в точку Q0, либо изогенией, т. е. существует гомоморфизм абелевых многообразий [img: http://localhost:8080/file/053107-36.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/053107-37.jpg] для нек-рого п(см. [1], [6]). Группа автоморфизмов Э. к. А* действует транзитивно на А. а ее подгруппа G=Aut(X, P0) автоморфизмов, оставляющих на месте точку Р 0, нетривиальна и конечна. Пусть char kотлична от 2 и 3. Если j(X)не равно 0 или 1728, то группа Gсостоит из двух элементов 1X и (-)X. Порядок Gравен 4 при j(X) =1728 и 6 при j(X)=0 (см. [1], [6], [13]). Важным инвариантом Э. к. является кольцо эндоморфизмов R=End(X, P0) абелева многообразия (X, Р 0). Отображение [img: http://localhost:8080/file/053107-38.jpg] определяет вложение [img: http://localhost:8080/file/053107-39.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053107-40.jpg] то говорят, что X - Э. к. с комплексным умножением. Кольцо R может быть одного из следующих типов (см. [1], [9], [13]): I. [img: http://localhost:8080/file/053107-41.jpg] II. [img: http://localhost:8080/file/053107-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053107-43.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/053107-44.jpg] -кольцо целых алгебраич. чисел мнимого квадратичного поля [img: http://localhost:8080/file/053107-45.jpg] III. R - некоммутативная [img: http://localhost:8080/file/053107-46.jpg] -алгебра ранга 4 без делителей нуля. В этом случае р=char k>0 и R- порядок в алгeбре кватернионов над [img: http://localhost:8080/file/053107-47.jpg] разветвленной только в р и [img: http://localhost:8080/file/053107-48.jpg] Такие Э. к. существуют для всех ри наз. сулерсингулярными; несунерсингулярные Э. к. в характеристике р наз. обыкновенными Э. к. Группа Х n= Кеr п X точек Э. к. X, порядок к-рых делит п, имеет следующую структуру: [img: http://localhost:8080/file/053107-49.jpg] если (n, char k) = 1. При р = char k > 0 для обыкновенных Э. к. [img: http://localhost:8080/file/053107-50.jpg] а для суперсингулярных Э. к. [img: http://localhost:8080/file/053107-51.jpg] Для простого [img: http://localhost:8080/file/053107-52.jpg] Тейта модуль Tl(X)изоморфен [img: http://localhost:8080/file/053107-53.jpg] Э. к. над незамкнутыми полями. Пусть X - Э. к. над произвольным полем k. Если множество k-рациональных точек X(k)кривой Xнепусто, то Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой (1) с [img: http://localhost:8080/file/053107-54.jpg] 3). Бесконечно удаленная точка P0 кривой (1) определена над k. Как и выше, можно определить групповую структуру на кривой (1), превращающую Xв одномерное абелево многообразие над k, а множество X(k)в коммутативную группу с нулем P0. Если kконечно порождено над своим простым под-полем, то X(k) - группа с конечным числом образующих (теорема Морделла - Вейля). Для любой Э. к. Xопределено Якоби многообразие J(X), являющееся одномерным абелевым многообразием над k. Э. к. Xявляется главным однородным пространством над J(X). Если множество X(k)непусто, то выбор точки [img: http://localhost:8080/file/053107-55.jpg] задает изоморфизм X~J(X), при к-ром точка Р 0 переходит в нуль группы J(X). В общем случае Э. к. Xи J(X)изоморфны над конечным расширением поля k(см. [1], [4), [13]). Э. к. над полем комплексных чисел. Э. к. Xнад [img: http://localhost:8080/file/053107-56.jpg] является компактной римановой поверхностью рода 1 и обратно. Групповая структура превращает Xв комплексную группу Ли, являющуюся одномерным комплексным тором [img: http://localhost:8080/file/053107-57.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053107-58.jpg] -решетка в комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/053107-59.jpg] Обратно, любой одномерный комплексный тор является Э. к. (см. [3]). С топологич. точки зрения Э. к.- двумерный тор. Теория Э. к. над полем [img: http://localhost:8080/file/053107-60.jpg] по существу, эквивалентна теории эллиптич. функций. Отождествление тора [img: http://localhost:8080/file/053107-61.jpg] с Э. к. осуществляется следующим образом. Эллиптич. функции с данной решеткой периодов L образуют поле, порожденное [img: http://localhost:8080/file/053107-62.jpg] -функцией Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции)и ее производной [img: http://localhost:8080/file/053107-63.jpg] к-рые связаны соотношением [img: http://localhost:8080/file/053107-64.jpg] Отображение [img: http://localhost:8080/file/053107-65.jpg] индуцирует изоморфизм тора [img: http://localhost:8080/file/053107-66.jpg] и Э. к. [img: http://localhost:8080/file/053107-67.jpg] с уравнением у 2=4x3-g2x-g3. Отождествление Э. Для любого целого алгебраического [img: http://localhost:8080/file/053107-98.jpg] лежащего в нек-ром мнимом квадратичном поле (или в [img: http://localhost:8080/file/053107-99.jpg] и по модулю равного [img: http://localhost:8080/file/053107-100.jpg] найдется такая Э. к. X над k, что порядок группы X(k) равен [img: http://localhost:8080/file/053107-101.jpg] Пусть k - поле p-адических чисел [img: http://localhost:8080/file/053107-102.jpg] или его конечное алгебраич. расширение, В - кольцо целых поля k, X - Э. к. над k и пусть множество X(k)непусто. Групповая структура превращает X(k)в коммутативную компактную одномерную Ли р-адическую группу. Группа X(k)двойственна по Понтрягину к Вейля- Шатле группе WC(k, X). Если [img: http://localhost:8080/file/053107-103.jpg] то X -кривая Тейта (см. [1], 15]) и существует канонич. униформизация группы X(k), аналогичная случаю поля [img: http://localhost:8080/file/053107-104.jpg] Пусть X - Э. к. над [img: http://localhost:8080/file/053107-105.jpg] и множество [img: http://localhost:8080/file/053107-106.jpg] непусто. Тогда А бирегулярно изоморфна кривой (1) с [img: http://localhost:8080/file/053107-107.jpg] Из всех кривых вида (1) с целыми аи b, изоморфных X, выбирается такая, для к-рой абсолютная величина дискриминанта [img: http://localhost:8080/file/053107-108.jpg] минимальна. Кондуктор N и L- функция L(X, s) Э. к. X определяются как формальные произведения локальных множителей [img: http://localhost:8080/file/053107-109.jpg] по всем простым р(см. [1], [5], [13]). Здесь fp- нек-рая степень р, Lp(X, s) - мероморфная функция комплексного переменного s, не имеющая ни нуля, ни полюса при s=l. Чтобы определить локальные множители, рассматривается редукция кривой Х по модулю [img: http://localhost:8080/file/053107-110.jpg] - плоская проективная кривая X р над полем вычетов [img: http://localhost:8080/file/053107-111.jpg] заданная в аффинной системе координат уравнением [img: http://localhost:8080/file/053107-112.jpg] Пусть А р - число [img: http://localhost:8080/file/053107-113.jpg] -точек на Х р. Если рне делит [img: http://localhost:8080/file/053107-114.jpg] то Х р - Э. к. [img: http://localhost:8080/file/053107-116.jpg] Если рделит [img: http://localhost:8080/file/053107-117.jpg] то многочлен [img: http://localhost:8080/file/053107-118.jpg] имеет кратный корень и полагают [img: http://localhost:8080/file/053107-119.jpg] (в зависимости от того, является этот корень трехкратным или нет). Произведение (2) сходится в правой полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/053107-120.jpg] Предполагается, что L(X,s)мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость и что функция [img: http://localhost:8080/file/053107-121.jpg] (Г(s) -гамма-функция)удовлетворяет функциональному уравнению [img: http://localhost:8080/file/053107-122.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/053107-123.jpg] (см. [5], [13]). Эта гипотеза доказана для Э. к. с комплексным умножением. Группа [img: http://localhost:8080/file/053107-124.jpg] изоморфна [img: http://localhost:8080/file/053107-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053107-126.jpg] -конечная абелева группа, a F - свободная абелева. группа нек-рого конечного ранга r. Группа [img: http://localhost:8080/file/053107-127.jpg] изоморфна одной из следующих 15 групп (см. [11]): [img: http://localhost:8080/file/053107-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053107-129.jpg] или т=12 и [img: http://localhost:8080/file/053107-130.jpg] Число rназ. рангом Э. к. над [img: http://localhost:8080/file/053107-131.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/053107-132.jpg] -рангом. Известны примеры Э. к. над [img: http://localhost:8080/file/053107-133.jpg] ранга [img: http://localhost:8080/file/053107-134.jpg] Имеется предположение (см. [1], [13]), что над Qсуществуют Э. к. сколь угодно большого ранга. Для изучения группы [img: http://localhost:8080/file/053107-135.jpg] используется высота Тейта [img: http://localhost:8080/file/053107-136.jpg] являющаяся неотрицательно определенной квадратичной формой на [img: http://localhost:8080/file/053107-137.jpg] (см. [1], [3], [8], а также Высота в диофантовой геометрии). Для любого [img: http://localhost:8080/file/053107-138.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/053107-139.jpg] конечно. В частности, [img: http://localhost:8080/file/053107-140.jpg] обращается в 0 в точности на подгруппе кручения [img: http://localhost:8080/file/053107-141.jpg] Важным инвариантом Э. к. Xявляется ее группа Тейта - Шафаревича Ш (X)(см. Вейля- Шатле группа). Нетривиальные элементы группы Ш(Х) - Э. к., не имеющие [img: http://localhost:8080/file/053107-142.jpg] -точек,- доставляют примеры Э. к., для к-рых не выполнен Хассе принцип. Группа Ш(Х) периодична и для любого пподгруппа ее элементов, порядки к-рых делят и, конечна. Для большого числа Э. к. проверена конечность 2- и 3-компонент группы Ш (см. [1], [4], [5]). Имеется гипотеза, что и группа Ш конечна. Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера (см. [5], [13]) утверждает, что порядок нуля L-функции L(X, s)при s=l равен [img: http://localhost:8080/file/053107-143.jpg] -рангу Э. к. X. В частности, L(X, s)имеет нуль при s=1 тогда и только тогда, когда группа [img: http://localhost:8080/file/053107-144.jpg] бесконечна. Гипотеза не доказана ни для одной Э. к. (1984), хотя для Э. к. с комплексным умножением (и f=1) установлено, что бесконечность [img: http://localhost:8080/file/053107-145.jpg] влечет за собой наличие нуля у L-функция при s=1 (см. [14]). Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера дает главный член асимптотики L-функции при [img: http://localhost:8080/file/053107-146.jpg] в к-рый входят порядки групп Ш(X)и [img: http://localhost:8080/file/053107-147.jpg] определитель высоты Тейта [1]. Эта гипотеза допускает переформулировку в терминах Тамагавы чисел (см. [7]). Предполагается (гипотеза Вейля), что существует униформизация Э. к. Xмодулярными функциями относительно конгруэнц-подгрунпы Г 0(N)модулярной группы Г (см. [5], а также Дзета-функция в алгебраич. геометрии). Эта гипотеза доказана для Э. к. с комплексным умножением. Известно (см. [15]), что всякая алгебраич. кривая над [img: http://localhost:8080/file/053107-148.jpg] униформизуется модулярными функциями относительно нек-рой подгруппы конечного индекса группы Г.