Эллиптическая функция

в собственном смысле - двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф. обладают следующими основными свойствами. Не существует целых Э. ф., кроме констант (теорема Лиувилля). Пусть [img: http://localhost:8080/file/053107-221.jpg] - примитивные периоды Э. ф. f(z), [img: http://localhost:8080/file/053107-222.jpg] Сумма вычетов всех полюсов f(z) в ее параллелограмме периодов [img: http://localhost:8080/file/053107-223.jpg] равна нулю. Пусть r - число полюсов (с учетом их кратности) Э. ф. f(z) в параллелограмме периодов [img: http://localhost:8080/file/053107-224.jpg] Тогда f(z) принимает в [img: http://localhost:8080/file/053107-225.jpg] каждое конечное значение с учетом кратности в точности rраз. Число r наз. порядком Э. ф. Не существует Э. ф., порядок к-рых меньше 2. Если ai и bi, i=l,..., r,- все нули и полюсы Э. ф. f(z) в ее параллелограмме периодов [img: http://localhost:8080/file/053107-226.jpg] с учетом их кратности, то сумма [img: http://localhost:8080/file/053107-227.jpg] сравнима с нулем по модулю периодов, т. е. [img: http://localhost:8080/file/053107-228.jpg] где m1, т 3 - целые числа (частный случай теоремы Абеля, см. Абелева функция). Все Э. ф. с фиксированными примитивными периодами [img: http://localhost:8080/file/053107-229.jpg] образуют алгебраич. поле Э. ф. с двумя образующими. В качестве этих образующих можно взять, напр., функцию Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/053107-230.jpg] и ее производную (см. Вейерштрасса эллиптические функции). Производная Э. ф. является в свою очередь Э. ф. того же порядка с теми же периодами. Каждая Э. ф. удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Каждая Э. ф. f(z) допускает алгебраическую теорему сложения, т. е. значения f(z1), f(z2), f(z1+z2) связаны неприводимым алгебраич. уравнением с постоянными коэффициентами. Обратно, имеет место теорема Beйерштрасса: всякая аналитич. ция f(z), допускающая алгебраич. теорему сложения, либо является рациональной функцией от г или от е z, либо есть Э. ф. Иногда применяется более общая терминология, связанная с теорией тета-функций. Э. ф. III рода наз. всякая мероморфная функция f(z), удовлетворяющая функциональному уравнению [img: http://localhost:8080/file/053108-1.jpg] где а i, bi - нек-рые постоянные. Если a1=a3=0, то f(z) наз. Э. ф. II рода. Если а 1=a3=b1=b3=0, то f(z) наа. Э. ф. I рода, или Э. ф. в собственном смысле. По атой терминологии тета-функций Якоби (см. Якоби эллиптические функции)и сигма-функции Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции) суть Э. ф. III рода. Впервые эллиптические интегралы исследовались в работах ученых кон. 17 - нач. 19 вв. Я. Бернулли (J.Bernoulli), И. Вернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера (L. Euler), А. Лежандра (A. Legendre) конца 17-начала 19 вв. Эти интегралы появились в задачах вычисления длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка. Они имеют вид [img: http://localhost:8080/file/053108-2.jpg] где R - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением [img: http://localhost:8080/file/053108-3.jpg] в к-ром справа стоит многочлен 4-й или 3-й степени без кратных корней. Подынтегральная функция однозначна на двулистной компактной римановой поверхности Fрода g=l с четырьмя точками ветвления. Дифференциалы I, II и III рода на F(см. Дифференциал на римановой поверхности)порождают соответственно эллиптич. интегралы I, II и III рода. Интеграл I рода является главной униформизирующей поверхности. и поля алгебраич. функций, порождаемых F. Если принять его за независимую переменную, то это поле переходит в поле Э. ф. Идея непосредственного обращения эллиптич. интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была развита в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) в нач. 19 в. Развитое К. Якоби построение Э. ф. на основе тета-функций имеет основное значение для приложений Э. ф. Теоретически более простое построение поля Э. ф., при к-ром в качестве образующих берутся функция [img: http://localhost:8080/file/053108-4.jpg] и ее производная, было дано К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 70-х гг. 19 в. При развитии теории Э. ф. одной из основных является проблема преобразования Э. ф. и связанных с ними величин при переходе от примитивных периодов [img: http://localhost:8080/file/053108-5.jpg] к другим примитивным периодам [img: http://localhost:8080/file/053108-6.jpg] связанным соотношениями [img: http://localhost:8080/file/053108-7.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053108-8.jpg] - целые числа такие, что [img: http://localhost:8080/file/053108-9.jpg] - натуральное число, называемое порядком преобразования. Площадь параллелограмма периодов [img: http://localhost:8080/file/053108-10.jpg] в праз больше площади параллелограмма периодов [img: http://localhost:8080/file/053108-11.jpg] При п=1 получаются преобразования модулярной группы, откуда возникла связанная с Э. ф. теория модулярных функций. Э. ф. можно трактовать как мероморфные функции, инвариантные относительно преобразований группы сдвигов [img: http://localhost:8080/file/053108-12.jpg] комплексной плоскости. Обобщение этого подхода привело к рассмотрению автоморфных функций, инвариантных относительно дробно-линейных отображений, составляющих группы более общей природы. Э. ф. и модулярные функции суть частные случаи автоморфных функций. Обращение эллиптич. интегралов сразу же привело к Якоби проблеме обращения более общих абелевых интегралов [img: http://localhost:8080/file/053108-13.jpg] где переменные z и w связаны произвольным алгебраич. уравнением. На этом пути получаются абелевы функции- обобщение Э. ф. на случай нескольких комплексных переменных. Э. ф. и эллиптич. интегралы находят многочисленные применения (как специальные функции) во многих разделах анализа, как средство униформизации в алгебраич. геометрии, а также в механике, электродинамике и других прикладных областях.