Эллиптический интеграл

- интеграл от алгебраической функцииIрода, т. е. интеграл вида [img: http://localhost:8080/file/053108-36.jpg] где R(z, w) - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением [img: http://localhost:8080/file/053108-37.jpg] в к-ром f(z) - многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что интеграл (1) нельзя выразить через одни только элементарные функции. В том случае, когда такое выражение возможно, интеграл (1) наз. псевдоэллиптическим интегралом. Название Э. и. связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах кон. 17 - нач. 18 вв. Я. Бернулли (J. Bernoulli), И. Бернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлер (L. Euler) заложили основы теории Э. и. и эллиптических функций, возникающих при обращении эллиптических интегралов. Уравнению (2) соответствует двулистная компактная риманова поверхность Fрода g=l, гомеоморфная тору, на к-рой z, w, а следовательно, и R (z,w). рассматриваемые как функции точки поверхности F, однозначны. Интеграл (1) задается как интеграл [img: http://localhost:8080/file/053108-38.jpg] от абелева дифференциала [img: http://localhost:8080/file/053108-39.jpg] на F, взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L. Задание начальной z0 и конечной z1 точек этого пути L, вообще говоря, не вполне определяет значение Э. и. (1), или, иначе говоря, Э. и. (1) есть многозначная функция от z0 и z1. Любой Э. и. можно выразить в виде суммы элементарных функций и линейной комбинации канонич. Э. и. I, II и III рода. Последние записываются, напр., следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/053108-40.jpg] где с - параметр Э. и. III рода. Дифференциал I рода dz/w, соответствующий Э. и. I рода I1, всюду на римановой поверхности. конечен, дифференциалы II и III рода имеют соответственно особенность типа полюса с нулевым вычетом или простого полюса. Рассматриваемые как функции верхнего предела интегрирования при фиксированном нижнем пределе, все три Э. и. на Fмногозначны. Если же разрезать Fвдоль двух циклов базиса гомологии, то в получившейся односвязной области F* интегралы I1 и I2 будут однозначны, а интеграл I3 сохраняет еще логарифмич. многозначность, появляющуюся при обходе простого полюса. При переходе через разрез каждый интеграл изменяется на целое кратное соответствующего периода, или модуля периодичности, а I3 имеет еще, кроме того, третий логарифмический период 2pi. соответствующий обходу особой точки. Таким образом, вычисление интеграла типа (1) сводится к вычислению интеграла вдоль пути L*, соединяющего на F* точки z0 и z1, и прибавлению соответствующей линейной комбинации периодов. Подвергая переменное z нек-рым преобразованиям, можно привести функцию wиосновные Э. и. к нормальным формам. В нормальной форме Вейерштрасса выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/053108-41.jpg] и интеграл [img: http://localhost:8080/file/053108-42.jpg] имеет периоды [img: http://localhost:8080/file/053108-43.jpg] Обращение этого Э. и. дает эллиптич. функцию Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/053108-44.jpg] с периодами [img: http://localhost:8080/file/053108-45.jpg] и инвариантами g2, g3 (см. Вейерштрасса эллиптические функции). Вычисление периодов [img: http://localhost:8080/file/053108-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053108-47.jpg] по заданным инвариантам производится при помощи модулярной функции [img: http://localhost:8080/file/053108-48.jpg] Если в нормальном интеграле II рода [img: http://localhost:8080/file/053108-49.jpg] принять нормальный интеграл I рода. в качестве переменной интегрирования, то при надлежащем выборе постоянной интегрирования будет выполняться равенство [img: http://localhost:8080/file/053108-50.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053108-51.jpg] - дзета-функция Вейерштрасса. При этом периоды нормального интеграла II рода равны [img: http://localhost:8080/file/053108-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053108-53.jpg] Нормальный интеграл III рода по Вейерштрассу имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053108-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053108-55.jpg] - сигма-функция Вейерштрасса, [img: http://localhost:8080/file/053108-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053108-57.jpg]. При этом справедливо правило перестановки: [img: http://localhost:8080/file/053108-58.jpg] где п - целое число. Периоды нормального интеграла III рода имеют вид [img: http://localhost:8080/file/053108-59.jpg] где n1, n3- целые, [img: http://localhost:8080/file/053108-60.jpg] -логарифмич. период. В приложениях чаще встречается нормальная форма Лежандра. При этом [img: http://localhost:8080/file/053108-61.jpg] где kназ. модулем Э. и., k2 иногда наз. лежандровым модулем, [img: http://localhost:8080/file/053108-62.jpg] - дополнительным модулем. Чаще всего имеет место нормальный случай, когда 0<k<l, a z=x=sin t- действительное переменное. Э. и. I род а в нормальной форме Лежандра имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053108-63.jpg] он наз. также неполным Э. и. I рода; [img: http://localhost:8080/file/053108-64.jpg] наз. амплитудой Э. и. I рода. Амплитуда есть бесконечнозначная функция от и. Обращение нормального интеграла I рода приводит к эллиптич. функции Якоби z=sn и(см. Якоби эллиптические функции). Нормальный интеграл II рода в нормальной форме Лежандра имрет вид [img: http://localhost:8080/file/053108-65.jpg] он наз. также неполным Э. и. II рода. Интегралы [img: http://localhost:8080/file/053108-66.jpg] наз. полными Э. и. соответственно I и II рода. Лежандровы интегралы I рода имеют периоды 4K и 2iK', II рода - периоды 4E и 2i(K'-E'). Нормальный интеграл III рода в нормальной форме Лежандра имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053108-67.jpg] где n2- параметр, чаще всего [img: http://localhost:8080/file/053108-68.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/053108-69.jpg] или k2<u2<1 он наз. циркулярным интегралом, а при 0<п 2<k2 или 1<n2 - гиперболич. интегралом. По Якоби нормальный интеграл III рода определяется несколько иначе: [img: http://localhost:8080/file/053108-70.jpg] где n2=k2sn2a. Связь между интегралами III рода Якоби и Лежандра выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/053108-71.jpg] циркулярный характер соответствует мнимым a, гиперболический - действительным а. Наряду с эллиптич. функциями, Э. и. находят многочисленные и важные применения в различных вопросах анализа и геометрии, физики, в частности механики, астрономии и геодезии. Составлены таблицы Э. и. подробные руководства по теории Э. и. и эллиптич. функций, а также сводки формул.