Эллиптический оператор

-линейный дифференциальный или псевдодифференциальный оператор с обратимым главным символом (см. Символ оператора). Пусть А- дифференциальный или псевдодифференциальный оператор (вообще говоря, матричный) на области [img: http://localhost:8080/file/053108-72.jpg] с главным символом [img: http://localhost:8080/file/053108-73.jpg] Если А- оператор порядка т, то [img: http://localhost:8080/file/053108-74.jpg] -матричная функция на [img: http://localhost:8080/file/053108-75.jpg] положительно однородная порядка тпо переменному [img: http://localhost:8080/file/053108-76.jpg] Тогда эллиптичность означает, что [img: http://localhost:8080/file/053108-77.jpg] -обратимая матрица при всех [img: http://localhost:8080/file/053108-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053108-79.jpg] Это понятие эллиптичности наз. эллиптичностью по Петровскому. Другой вид эллиптичности, эллиптичность по Дуглису - Ниренбергу, предполагает, что А- матричный оператор, [img: http://localhost:8080/file/053108-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053108-81.jpg] -оператор порядка sj - ti,(s1,..., sd) и (t1,..., td) - нек-рые наборы действительных чисел. Тогда можно образовать матрицу главных символов [img: http://localhost:8080/file/053108-82.jpg] где функция [img: http://localhost:8080/file/053108-83.jpg] положительно однородна по [img: http://localhost:8080/file/053108-84.jpg] порядка sj-ti. Тогда эллиптичность по Дуглису - Ниренбергу означает, что матрица [img: http://localhost:8080/file/053108-85.jpg] обратима при всех [img: http://localhost:8080/file/053108-86.jpg] Эллиптичность оператора Ана многообразии означает эллиптичность операторов, к-рые получаются из него при его записи в локальных координатах. Равносильным образом эту эллиптичность можно описать как обратимость главного символа [img: http://localhost:8080/file/053108-87.jpg] к-рый является функцией на [img: http://localhost:8080/file/053108-88.jpg] где Т*Х - кокасательное расслоение к [img: http://localhost:8080/file/053108-89.jpg] - то же расслоение без нулевого сечения. Если оператор Адействует в сечениях векторных расслоений [img: http://localhost:8080/file/053108-90.jpg] то эллиптичность оператора означает обратимость линейного оператора [img: http://localhost:8080/file/053108-91.jpg] для любой точки [img: http://localhost:8080/file/053108-92.jpg] (здесь Е х, Fx- слои расслоений Еи. в точке x). Примером Э. о. является Лапласа оператор. Эллиптичность оператора равносильна отсутствию у него действительных характеристич. направлений. Эллиптичность можно также понимать микролокально. А именно, эллиптичность оператора Ав точке [img: http://localhost:8080/file/053108-93.jpg] означает обратимость матрицы (линейного отображения) [img: http://localhost:8080/file/053108-94.jpg] Эллиптичность псевдодифференциального оператора на многообразии с краем (напр., оператора из алгебры Бутеде Монвеля [10], [11]) в граничной точке означает обратимость нек-рого модельного оператора граничной задачи на полуоси. Этот модельный оператор получается из исходного выпрямлением границы, замораживанием коэффициентов главных частей оператора и граничных условий в рассматриваемой точке и взятием преобразования Фурье по касательным направлениям (от [img: http://localhost:8080/file/053108-95.jpg] с последующим фиксированием ненулевого вектора [img: http://localhost:8080/file/053108-96.jpg] к-рый можно рассматривать как кокаса тельный вектор к границе. В случае дифференциального оператора и дифференциальных граничных условий описанное условие эллиптичности может быть записано в алгебраич. терминах. В этом случае (а также иногда и в общем случае) это условие часто наз. условием Шапиро - Лопатинского, или условием коэрцитивности. Наиболее характерными свойствами Э. о. являются: 1) свойства регулярности решений соответствующих уравнений; 2) точные априорные оценки; 3) фредгольмовость Э. о. на компактных многообразиях. Ниже, для простоты, коэффициенты и символы всех операторов считаются бесконечногладкими. Пусть дано уравнение Au=f, где А - Э. [img: http://localhost:8080/file/053108-106.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053108-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053108-108.jpg] - две области в [img: http://localhost:8080/file/053108-109.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/053108-110.jpg] - компакт, принадлежащий [img: http://localhost:8080/file/053108-111.jpg] Au=f в [img: http://localhost:8080/file/053108-112.jpg] постоянная Сне зависит от и(но может зависеть от [img: http://localhost:8080/file/053108-113.jpg] Глобальная априорная оценка для Э. о.. порядка тна компактном многообразии Xбез края имеет тот же вид, что и (1), но с заменой [img: http://localhost:8080/file/053108-114.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053108-115.jpg] на X. В случае многообразия с краем вместо норм пространств [img: http://localhost:8080/file/053108-116.jpg] в (1) нужно взять нормы, учитывающие структуру вектор-функций ии f (содержащих, вообще говоря, граничные компоненты). Напр., пусть на компактном многообразии X с краем Yзадан Э. о. вида [img: http://localhost:8080/file/053108-117.jpg] где А -- эллиптический дифференциальный оператор порядка т, В j - дифференциальные операторы порядков mj, причем mj<m и выполнено условие Шапиро - Лопатинского (для оператора Аи системы граничных операторов B1,..., В r). Тогда априорная оценка в пространствах Соболева [img: http://localhost:8080/file/053108-118.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053108-119.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053108-120.jpg] - норма в пространстве [img: http://localhost:8080/file/053108-121.jpg] - норма в пространстве [img: http://localhost:8080/file/053108-122.jpg] и постоянная С>0 не зависит от и(но может зависеть от A, Bj, s, X, Y и выбора норм в пространствах Соболева). Э. о. на компактном многообразии (возможно, с краем) определяет фредгольмов оператор в соответствующих соболевских пространствах, а также в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Его индекс зависит лишь от главного символа и не меняется при непрерывных деформациях главного символа. Это позволяет поставить вопрос о вычислении индекса (см. Индекса формулы). Важную роль играют Э. о. с параметром (см. [12]). При выполнении условия эллиптичности с параметром на компактном многообразии при больших по модулю значениях параметра рассматриваемый Э. о. оказывается обратимым, причем в глобальной априорной оценке типа (1) можно опустить последний член (младшую норму и в правой части).