Эмпирическое распределение

распределение выборки, - распределение вероятностей, к-рое определяется по выборке для оценивания истинного распределения. Пусть результаты наблюдений Х 1,..., Х п - взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения [img: http://localhost:8080/file/053109-48.jpg] и пусть X(1)< X(2)<... <X(n)- соответствующий вариационный ряд. Эмпирическим распределением, соответствующим Х 1,..., Х п, наз. дискретное распределение, приписывающее каждому значению Х k вероятность 1/n. Функция Э. р. [img: http://localhost:8080/file/053109-49.jpg] наз. эмпирической функцией; распределения, является ступенчатой функцией со скачками, кратными 1/п, в точках, определяемых величинами Х (1),..., Х (п): [img: http://localhost:8080/file/053109-50.jpg] При фиксированных значениях Х 1,..., Х п функция [img: http://localhost:8080/file/053109-51.jpg] обладает всеми свойствами обычной функции распределения. При каждом фиксированном действительном хфункция [img: http://localhost:8080/file/053109-52.jpg] является случайной величиной как функция Х 1,..., Х п. Таким образом, Э. р., соответствующее выборке Х 1,..., Х п, задается семейством случайных величин [img: http://localhost:8080/file/053109-53.jpg] зависящих от действительного параметра х. При этом для фиксированного x [img: http://localhost:8080/file/053109-54.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053109-55.jpg] В соответствии с законом больших чисел [img: http://localhost:8080/file/053109-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053109-57.jpg] при каждом х. Ото означает, что [img: http://localhost:8080/file/053109-58.jpg] - несмещенная и состоятельная оценка функции распределения [img: http://localhost:8080/file/053109-59.jpg] Функция Э. р. равномерно по хсходится с вероятностью 1 к [img: http://localhost:8080/file/053109-60.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053109-61.jpg] или, если [img: http://localhost:8080/file/053109-62.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/053109-63.jpg] (теорема Гливенко - Кантелли). Величина Dn служит мерой близости [img: http://localhost:8080/file/053109-64.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/053109-65.jpg] А. Н. Колмогоров (1933) нашел предельное распределение: для непрерывной функции [img: http://localhost:8080/file/053109-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053109-66.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053109-68.jpg] неизвестна, то для проверки гипотезы о том, что эта функция есть заданная непрерывная функция [img: http://localhost:8080/file/053109-69.jpg] применяются критерии, основанные на статистиках типа Dn (см. Колмогорова критерий, Колмогорова- Смирнова критерий, Непараметрические методы статистики). Моменты и любые другие характеристики Э. р. наз. выборочными (эмпирическими) моментами и характеристиками, напр.: [img: http://localhost:8080/file/053109-70.jpg] - выборочное среднее, [img: http://localhost:8080/file/053109-71.jpg] - выборочная дисперсия, [img: http://localhost:8080/file/053109-72.jpg] - выборочный момент r- го порядка. Выборочные характеристики служат статистич. оценками соответствующих характеристик исходного распределения.