Эндоморфизмов кольцо

ассоциативное кольцо End А=Ноm(A, А), состоящее из всех морфизмов. в себя, где А - объект нек-рой аддитивной категории С. Умножение в End Асовпадает с композицией морфизмов, а сложение - со сложением морфизмов, определенным аксиомами аддитивной категории. Тождественный морфизм 1A является единицей кольца End A. Элемент [img: http://localhost:8080/file/053109-106.jpg] из End Аобратим тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/053109-107.jpg] - автоморфизм объекта А. Если Aи В- нек-рые объекты категории С, то группа Ноm (А, В)обладает естественной структурой правого модуля над кольцом End Аи левого модуля над кольцом End В. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053109-108.jpg] - ковариантный (соответственно контравариантный) аддитивный функтор из аддитивной категории Св аддитивную категорию С'. Тогда для любого объекта Аиз С функтор Тиндуцирует естественный гомоморфизм (соответственно естественный антигомоморфизм) End [img: http://localhost:8080/file/053109-109.jpg] Пусть С - категория модулей над кольцом R. Для R-модуля Акольцо End Асостоит из всех эндоморфизмов абелевой группы А, перестановочных с умножением на элементы из R. Сумма эндоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/053109-110.jpg] определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/053109-111.jpg] Если R - коммутативно, то кольцо End Аобладает естественной структурой R-алгобры. Многие свойства модуля Амогут быть охарактеризованы в терминах кольца End А. Напр., модуль Анеприводим тогда и только тогда, когда End Аявляется телом. Произвольный гомоморфизм p ассоциативного кольца Кв End Аназ. представлением кольца. (эндоморфизмами объекта А). Если К - кольцо с единицей, то накладывается дополнительное условие [img: http://localhost:8080/file/053109-112.jpg] Любое ассоциативное кольцо Кобладает точным представлением в Э. к. нек-рой абелевой группы А. Причем, если К - кольцо с единицей, то в качестве Аможно взять аддитивную группу кольца К, на к-рую элементы из K действуют умножением слева. Если же К - кольцо без единицы и K'- кольцо, полученное из Квнешним присоединением единицы к К, то в качестве Аможно взять аддитивную группу кольца K'. В случае абелева многообразия Xнаряду с кольцом End A, являющимся конечно порожденным [img: http://localhost:8080/file/053109-113.jpg] -модулем, рассматривают алгебру эндоморфизмов (алгебру комплексных умножений) [img: http://localhost:8080/file/053109-114.jpg]