Энергия мер

- понятие потенциала теории, являющееся аналогом физич. понятия потенциальной энергии системы электрич. зарядов. Пусть для точек x=(x1,..., xn) евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/053109-129.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053109-130.jpg] - фундаментальное решение уравнения Лапласа и [img: http://localhost:8080/file/053109-131.jpg] - ньютонов (при [img: http://localhost:8080/file/053109-132.jpg] или логарифмический (при п=2)потенциал борелевской меры [img: http://localhost:8080/file/053109-133.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/053109-134.jpg] Ограничиваясь пока случаем [img: http://localhost:8080/file/053109-135.jpg] определяют взаимную энергию неотрицательных мер m и v равенством [img: http://localhost:8080/file/053109-136.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/053110-1.jpg] но может оказаться [img: http://localhost:8080/file/053110-2.jpg] Энергия мер ы [img: http://localhost:8080/file/053110-3.jpg] - это число [img: http://localhost:8080/file/053110-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053110-5.jpg] Для мер [img: http://localhost:8080/file/053110-6.jpg] произвольного знака можно воспользоваться канонич. разложениями [img: http://localhost:8080/file/053110-7.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053110-8.jpg] (или любыми разложениями вида [img: http://localhost:8080/file/053110-9.jpg] и определить взаимную Э. м. равенством [img: http://localhost:8080/file/053110-10.jpg] причем взаимная Э. м. может оказаться и отрицательной, но [img: http://localhost:8080/file/053110-11.jpg] Совокупность [img: http://localhost:8080/file/053110-12.jpg] всех мер с конечной энергией превращается в предгильбертово векторное пространство со скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/053110-13.jpg] и энергетической нормой [img: http://localhost:8080/file/053110-14.jpg] При этом выполняются 1) неравенство Буняковского [img: http://localhost:8080/file/053110-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053110-16.jpg] и 2) принцип энергии: если [img: http://localhost:8080/file/053110-17.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/053110-18.jpg] А. Картан (Н. Cartan) показал, что пространство [img: http://localhost:8080/file/053110-19.jpg] не является полным, но множество [img: http://localhost:8080/file/053110-20.jpg] неотрицательных мер полно в [img: http://localhost:8080/file/053110-21.jpg] Пусть K - компакт в [img: http://localhost:8080/file/053110-22.jpg] Среди всех вероятностных мер [img: http://localhost:8080/file/053110-23.jpg] на К, т. е. таких, что [img: http://localhost:8080/file/053110-24.jpg] существует экстремальная емкостная мера [img: http://localhost:8080/file/053110-25.jpg] с минимальной Э. м. [img: http://localhost:8080/file/053110-26.jpg] к-рая связана с емкостью С(К)компакта Ксоотношением [img: http://localhost:8080/file/053110-27.jpg] Если потенциал [img: http://localhost:8080/file/053110-28.jpg] меры [img: http://localhost:8080/file/053110-29.jpg] допускает градиент с суммируемым квадратом, то имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/053110-31.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053110-30.jpg] - нормаДирихле, а [img: http://localhost:8080/file/053110-32.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053110-33.jpg] На самом деле равенство (5) остается в силе для любой меры [img: http://localhost:8080/file/053110-34.jpg] причем норма Дирихле [img: http://localhost:8080/file/053110-35.jpg] определяется при помощи соответствующего предельного перехода. В случае плоскости [img: http://localhost:8080/file/053110-36.jpg] непосредственное применение для определения Э. м. формулы (3) с логарифмич. потенциалом (2) невозможно вследствие особого поведения логарифмич. ядра (1) на бесконечности. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053110-37.jpg] - ограниченная область пространства [img: http://localhost:8080/file/053110-38.jpg] допускающая функцию Грина g(x, у), и [img: http://localhost:8080/file/053110-39.jpg] - борелевская мера на [img: http://localhost:8080/file/053110-40.jpg] Применяя в (3) вместо потенциалов [img: http://localhost:8080/file/053110-41.jpg] Uv(x)потенциалы Грина вида [img: http://localhost:8080/file/053110-42.jpg] получают при [img: http://localhost:8080/file/053110-43.jpg] определение Э. м., равносильное данному выше для мер на [img: http://localhost:8080/file/053110-44.jpg] к-рое, однако, оказывается пригодным и при п=2 с сохранением всех описанных свойств (причем [img: http://localhost:8080/file/053110-45.jpg]