Эрмита многочлены

многочлены Чебышева - Эрмита,- многочлены, ортогональные на интервале [img: http://localhost:8080/file/053111-50.jpg] с весовой функцией k(x)=ехр(- х 2). Стандартизованные Э. м. определяются Родрига формулой [img: http://localhost:8080/file/053111-51.jpg] Наиболее употребительны формулы [img: http://localhost:8080/file/053111-52.jpg] Первые Э. м. имеют вид [img: http://localhost:8080/file/053111-53.jpg] Многочлен Hn (х)удовлетворяет дифференциальному уравнению у"-2ху'+ 2ny = 0. Ортонормированные Э. м. определяются равенством [img: http://localhost:8080/file/053111-54.jpg] Э. м. с единичным старшим коэффициентом имеют вид [img: http://localhost:8080/file/053111-55.jpg] Ряды Фурье по Э. м. внутри интервала [img: http://localhost:8080/file/053111-56.jpg] аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. В математич. статистике и теории вероятностей применяются Э. м., соответствующие весовой функции [img: http://localhost:8080/file/053111-57.jpg] Определение Э. м. встречается у П. Лапласа [1]. Подробное исследование этих многочленов опубликовал П. Л. Чебышов в 1859 (см. [2]). Затем эти многочлены изучал Ш. Эрмит [3]. В. А. Стеклов [4] доказал плотность множества всех многочленов в пространстве функций, квадрат к-рых интегрируем с весом h(x)=ехр(-x2) на всей оси. См. также Классические ортогональные многочлены.