Эрмитово ядро

- комплекснозначная функция К(х, у), интегрируемая с квадратом на [img: http://localhost:8080/file/053112-92.jpg] и удовлетворяющая условию (эрмитовой симметричности) [img: http://localhost:8080/file/053112-93.jpg] для почти всех [img: http://localhost:8080/file/053112-94.jpg] Черта в равенстве (1) означает переход к комплексно сопряженному значению. Если Э. я. почти всюду не равно нулю, то оно имеет по крайней мере одно характеристич. значение (собственное значение), т. е. существует такое число [img: http://localhost:8080/file/053112-95.jpg] что уравнение [img: http://localhost:8080/file/053112-96.jpg] имеет ненулевое решение (собственная функция, соответствующая числу [img: http://localhost:8080/file/053112-97.jpg] Все характеристич. значения Э. я. действительны и на любом сегменте может находиться лишь конечное их множество. Собственные функции Э. я., соответствующие различным характеристич. значениям, ортогональны между собой. Существует ортонормированная (конечная или бесконечная) последовательность собственных функций [img: http://localhost:8080/file/053112-98.jpg] соответствующих характеристич. значениям [img: http://localhost:8080/file/053112-99.jpg] Ряд [img: http://localhost:8080/file/053112-100.jpg] сходится в среднем на квадрате [img: http://localhost:8080/file/053112-101.jpg] к ядру К. Если Э. я. непрерывно и ряд (2) сходится равномерно в [img: http://localhost:8080/file/053112-102.jpg] то его сумма равна К. Для того чтобы система характеристич. значений и собственных функций Э. я. была конечной, необходимо и достаточно, чтобы ядро было вырожденным. Все итерированные ядра Э. я. также являются Э. я. Линейный интегральный оператор, порожденный Э. я., является самосопряженным. Э. я. наз. полным (или замкнутым), если система его собственных функций полна в L2([a, b]); в противном случае оно наз. неполным. Э. я. наз. положительным (отрицательным), если все его характеристические числа положительны (отрицательны). Полное положительное (отрицательное) ядро наз. положительно (отрицательно) определенным. Отрезок [а, b]можно заменить областью [img: http://localhost:8080/file/053112-103.jpg] n-мерного евклидова пространства.