Якоби проблема обращения

проблема обращения абелевых интеграловI рода произвольного поля алгебраических функций. Иначе говоря, проблема обращения абелевых интегралов I рода на компактной римановой поверхности Fрода [img: http://localhost:8080/file/053303-98.jpg] соответствующей данному алгебраич. уравнению F(z, w)=0. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053303-99.jpg] - базис абелевых дифференциалов I рода на F. Обращение одного абелева интеграла, напр. [img: http://localhost:8080/file/053303-100.jpg] т. е. представление всевозможных рациональных функций от w1, в частности представление функции w1 = w1(z1) как функций от z1, имеет смысл только при р=1 - в этом случае речь идет об обращении эллиптического интеграла, к-рое приводит к двоя-копериодическим эллиптическим функциям. Напр., обращение нормального интеграла I рода в нормальной форме Лежандра [img: http://localhost:8080/file/053303-101.jpg] приводит к Якоби эллиптической функции w1=sn z1. Как заметил еще К. Якоби (С. Jacobi, 1832), проблема обращения при р>1 должна рассматриваться для всех абелевых интегралов I рода [img: http://localhost:8080/file/053303-102.jpg] в совокупности, так как должны получиться функции с 2рпериодами. В общем случае при [img: http://localhost:8080/file/053303-103.jpg] рациональная постановка Я. п. о, состоит в следующем: пусть дана система равенств [img: http://localhost:8080/file/053303-104.jpg] в к-рой нижние пределы интегрирования c1, с 2,..., c р - фиксированные точки на F; w1,..., wp - текущие точки на F; z=(z1,..., zp) - данные произвольные комплексные числа. Требуется указать, при каких условиях и как можно обратить систему (1), т. е. получить представление всевозможных симметрических рациональных функций от wk, k=1, 2,..., р, как функций от z=(zl,..., zp). Вследствие зависимости от формы путей, соединяющих на Fточки ck и wk, абелевы интегралы в (1), как функции от верхних пределов wk, многозначны: при изменении формы пути они могут получить приращение в виде целочисленной линейной комбинации периодов. Отсюда вытекает, что (1) является в сущности системой сравнений по модулю периодов дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/053303-105.jpg] Получаемые при решении Я. п. о. функции от комплексных переменных z = (z1,..., zp)не должны изменять своих значений при прибавлении к аргументу любой целочисленной комбинации периодов дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/053303-106.jpg] Это будут, следовательно, специальные абелевы функции с 2рнезависимыми периодами. Для случая p =1,т. е. для эллиптического интеграла, построение эллиптич. функций, решающих проблему обращения, достигается при помощи сравнительно простых тета-функций Якоби от одного комплексного переменного z, причем мероморфные эллиптич. функции строятся в виде отношений целых тета-функций. Решение общей Я. п. о. также возможно при помощи тета-функций [img: http://localhost:8080/file/053303-107.jpg] 1-го порядка от ркомплексных переменных с полуцелыми характеристиками Н. Матрица периодов Wбазисных абелевых дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/053303-108.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053303-109.jpg] причем римановы соотношения (см. Абелева функция)между периодами обеспечивают равномерную сходимость на компактах пространства [img: http://localhost:8080/file/053303-110.jpg] представляющих тета-функции [img: http://localhost:8080/file/053303-111.jpg] рядов, построенных по матрице W. При помощи тета-функции [img: http://localhost:8080/file/053303-112.jpg] с нулевой характеристикой строится суперпозиция [img: http://localhost:8080/file/053303-113.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053303-114.jpg] - вектор абелевых интегралов, w=(w1,..., wp) - система точек на F;Ф (w)наз. Римана тета-функцией. Для данной системы чисел [img: http://localhost:8080/file/053303-115.jpg] либо в нормальном случае функция Ф(w) имеет на Fединственную систему нулей [img: http://localhost:8080/file/053303-116.jpg] либо в исключительном случае тождественно обращается в нуль. Эти нули [img: http://localhost:8080/file/053303-117.jpg] и дают решение Я. п. о. Исключительные точки г, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/053303-118.jpg] составляют в [img: http://localhost:8080/file/053303-119.jpg] множество низшей размерности. Явные выражения специальных абелевых функций, решающих Я. п. о. в полном объеме, строятся при помощи отношений тета-функций вида [img: http://localhost:8080/file/053303-120.jpg] в к-рых тета-функция с нулевой характеристикой служит общим знаменателем. При прибавлении к аргументу периодов тета-функции умножаются на определенные мультипликаторы. Для отношений тета-функций, вследствие сокращений, нетривиальным мультипликатором может быть только -1. Следовательно, квадраты отношений не изменяются при прибавлении к аргументу периодов и получаются абелевы функции с 2рпериодами. К Я. п. о. примыкает важная проблема построения для данной системы тета-функций [img: http://localhost:8080/file/053303-121.jpg] с общей матрицей W, удовлетворяющей условиям сходимости, соответствующего ей поля алгебраич. функций и соответствующей римановой поверхности. Для того чтобы такое построение было возможно, различные элементы ajk матрицы W, число к-рых равно р(р+1)/2, должны удовлетворять (р-2)(р-3)/2 дополнительным соотношениям, и исследование этих соотношений при р>3 представляет собой весьма трудную задачу (см. [1], [3]-[5])