Якоби условие

необходимое условие оптимальности в задачах вариационного исчисления. Я. у. является необходимым условием неотрицательности 2-й вариации минимизируемого функционала в точке его минимума (равенство нулю 1-й вариации функционала обеспечивается выполнением необходимых условий первого порядка - дифференциального Эйлера уравнения, трансверсальности условием, а также Вейерштрасса условием). Пусть, напр., поставлена задача минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/053304-1.jpg] при ладанных условиях на концах [img: http://localhost:8080/file/053304-2.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053304-3.jpg] есть решение задачи (1), (2), то 1-я вариация функционала [img: http://localhost:8080/file/053304-4.jpg] должна быть равна нулю, и отсюда следуют необходимые условия 1-го порядка, а 2-я вариация [img: http://localhost:8080/file/053304-5.jpg] должна быть больше или равна нулю при любой кусочно гладкой функции [img: http://localhost:8080/file/053304-6.jpg] удовлетворяющей нулевым граничным условиям [img: http://localhost:8080/file/053304-7.jpg] Уравнение Эйлера для функционала [img: http://localhost:8080/file/053304-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053304-9.jpg] наз. уравнением Якоби. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно неизвестной функции [img: http://localhost:8080/file/053304-10.jpg] Все коэффициенты в (5) при [img: http://localhost:8080/file/053304-11.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053304-12.jpg] вычисляются при значениях [img: http://localhost:8080/file/053304-13.jpg] соответствующих известному оптимальному решению x(t)и, следовательно, все они являются известными функциями, зависящими от аргумента t. Функция [img: http://localhost:8080/file/053304-14.jpg] удовлетворяет уравнению Якоби при граничных условиях (4), то есть является экстремалью функционала [img: http://localhost:8080/file/053304-15.jpg] С другой стороны, для [img: http://localhost:8080/file/053304-16.jpg] 2-я вариация [img: http://localhost:8080/file/053304-17.jpg] и так как для оптимального решения x(t)2-явариация неотрицательна при любых [img: http://localhost:8080/file/053304-18.jpg] то функция [img: http://localhost:8080/file/053304-19.jpg] доставляет минимум функционалу [img: http://localhost:8080/file/053304-20.jpg] Если выполнено условие Лежандра [img: http://localhost:8080/file/053304-21.jpg] то есть x(t)является неособенной экстремалью, то при начальных условиях [img: http://localhost:8080/file/053304-22.jpg] решение уравнения Якоби тождественно равно нулю. Точка t=с наз. сопряженной с точкой t=a, если существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при 2=а и t=с и не равное тождественно нулю между а и с. Согласно необходимому Я. у., если неособенная экстремаль x(t), [img: http://localhost:8080/file/053304-23.jpg] доставляет минимум функционалу (1), то интервал (t1, t2) не содержит точек, сопряженных с t1. Практич. смысл Я. у. может быть пояснен следующим образом. Пусть Я. у. не выполняется, т. е. существует точка а, t1<а<t2, сопряженная с t1. Тогда можно было бы построить непрерывную функцию [img: http://localhost:8080/file/053304-24.jpg] являющуюся решением уравнения (5), для к-рой [img: http://localhost:8080/file/053304-25.jpg] Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/053304-26.jpg] является ломаной экстремалью функционала [img: http://localhost:8080/file/053304-27.jpg] с угловой точкой при t=a. По согласно необходимому условию Вейерштрасса - Эрдмана (см. Эйлера уравнение), требующему непрерывности выражений [img: http://localhost:8080/file/053304-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053304-29.jpg] в угловой точке, при t=a должно выполняться равенство [img: http://localhost:8080/file/053304-30.jpg] что вместе с [img: http://localhost:8080/file/053304-31.jpg] дает [img: http://localhost:8080/file/053304-32.jpg] а это противоречит предположению. [img: http://localhost:8080/file/053304-33.jpg] Для непосредственной проверки Я. у. следует рассматривать решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям [img: http://localhost:8080/file/053304-34.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/053304-35.jpg] - это решение. Для того, чтобы точка t=a, [img: http://localhost:8080/file/053304-36.jpg] была сопряжена с t1, необходимо и достаточно, чтобы функция [img: http://localhost:8080/file/053304-37.jpg] обратилась в нуль при t=a. Таким образом, выполнение Я. у. эквивалентно условию необращения в нуль решения уравнения Якоби [img: http://localhost:8080/file/053304-38.jpg] на интервале (t1, t2). В более общем случае, когда рассматривается вариационная задача на условный минимум (задача в форме Лагранжа, Майера или Больца), формулировка Я. у. имеет нек-рые особенности. Возникающая здесь задача на минимум 2-й вариации функционала формулируется как задача на условный экстремум (в форме задачи Больца). Эта задача наз. присоединенной задачей, а ее экстремали - присоединенными экстремалями. Дифференциальные условия связи и граничные условия в присоединенной задаче на минимум 2-й вариации получаются в результате варьирования соответствующих условий исходной вариационной задачи. Определение сопряженной точки остается по форме таким же. Для неотрицательности 2-й вариации функционала на классе присоединенных экстремалей, удовлетворяющих присоединенным условиям для концов, должно выполняться Я. у., требующее, чтобы интервал (tl, t2)не содержал точек, сопряженных с t1. Я. у. установлено К. Якоби (С. Jacobi, 1837).