Якоби эллиптические функции

- эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel). Конструкция Якоби основывается на применении тета-функций. Пусть [img: http://localhost:8080/file/053304-39.jpg] - комплексное число с [img: http://localhost:8080/file/053304-40.jpg] Тета-функции Якоби [img: http://localhost:8080/file/053304-41.jpg] представляют собой следующие ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного v: [img: http://localhost:8080/file/053304-42.jpg] Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения [img: http://localhost:8080/file/053304-43.jpg] восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо [img: http://localhost:8080/file/053304-44.jpg] часто пишут [img: http://localhost:8080/file/053304-45.jpg] имеются и другие системы обозначений. Сам К. Якоби применял обозначения: [img: http://localhost:8080/file/053304-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053304-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053304-48.jpg] Все тета-функции Якоби представляют собой целые трансцендентные функции комплексного переменного v, причем [img: http://localhost:8080/file/053304-49.jpg] - нечетная функция, а остальные функции [img: http://localhost:8080/file/053304-50.jpg] четные. Имеют место следующие соотношения периодичности: [img: http://localhost:8080/file/053304-51.jpg] из к-рых вытекает, что тета-функции являются эллиптич. функциями III рода по Эрмиту. Различные тета-функции связаны между собой формулами преобразования: [img: http://localhost:8080/file/053304-52.jpg] Все четыре тета-функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению [img: http://localhost:8080/file/053304-53.jpg] Важное значение имеют так наз. нулевые значения тета-функций [img: http://localhost:8080/file/053304-54.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/053304-55.jpg] Между ними имеются следующие соотношения: [img: http://localhost:8080/file/053304-56.jpg] По отдельности [img: http://localhost:8080/file/053304-57.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053304-58.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/053304-59.jpg] имеет простые нули в точках [img: http://localhost:8080/file/053304-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053304-61.jpg] - в точках [img: http://localhost:8080/file/053304-62.jpg] - в точкax [img: http://localhost:8080/file/053304-63.jpg] - в точках [img: http://localhost:8080/file/053304-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053304-64.jpg] Из соотношений периодичности видно, что нек-рые отношения тета-функции будут эллиптич. функциями в собственном смысле. Основные эллиптические функции Якоби - snu(синус амплитуды). сn.(косинус амплитуды)и dnu (дельта амплитуды). Эти обозначения введены X. Гудерманом (Ch. Gudermann, 1838). Названия происходят от старых обозначений, введенных самим К. Якоби (znи==sin аmu, cnu=cos amu, dnu= [img: http://localhost:8080/file/053304-66.jpg] amu)и позднее вышедших из употребления. Новое переменное исвязано с. соотношением u= [img: http://localhost:8080/file/053304-67.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053304-68.jpg] - модуль эллиптических функций, то Я. э. ф. следующим образом выражаются через тета-функции или посредством сходящихся в окрестности начала степенных рядов: [img: http://localhost:8080/file/053304-69.jpg] Удобные обозначения для обратных величин и отношений были введены Дж. Глейшером(J. Glaisher, 1882): [img: http://localhost:8080/file/053304-70.jpg] Я. э. ф. snu, сnи, dnu являются эллиптич. функциями 2-го порядка с периодами: 4K и 2iK' для snu; 4K и 2(K+iK')для сnи; 2Ки 4iK' для dnu. Здесь K= [img: http://localhost:8080/file/053304-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053304-72.jpg] - значения полных эллиптич. интегралов I рода, [img: http://localhost:8080/file/053304-73.jpg] - дополнительный модуль эллиптических функций. Я. э. ф. имеют только простые полюсы, расположенные в точках 2mK+(2n+1)iK'; т, [img: http://localhost:8080/file/053304-74.jpg] Три Я. э. ф. связаны соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/053304-75.jpg] и дифференциальными уравнениями [img: http://localhost:8080/file/053304-76.jpg] Теоремы сложения дяя Я. э. ф. имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/053304-77.jpg] Связь Я. э. ф. с эллиптич. интегралами выражается в том, что если [img: http://localhost:8080/file/053304-78.jpg] - эллиптич. интеграл I рода в нормальной форме Лежандра, то его обращение имеет вид z=snu; в этом и состоял исходный пункт теории Якоби. Переменная [img: http://localhost:8080/file/053304-79.jpg] есть бесконечнозначная функция от ии наз. амплитудой эллиптического интеграла u, [img: http://localhost:8080/file/053304-80.jpg] Основные соотношения между постоянными: [img: http://localhost:8080/file/053304-81.jpg] В прикладных задачах обычно задан модуль k, причем чаще всего имеет место так наз. нормальный случай 0<k<1, или задан дополнительный модуль [img: http://localhost:8080/file/053304-82.jpg] 0<k'<1. Требуется найти К, К', [img: http://localhost:8080/file/053304-83.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/053304-84.jpg] Полагая [img: http://localhost:8080/file/053304-85.jpg] при 0<k<l имеем [img: http://localhost:8080/file/053304-86.jpg] Для определения qполучается быстро сходящийся при [img: http://localhost:8080/file/053304-87.jpg] ряд [img: http://localhost:8080/file/053304-88.jpg] Значения полных эллиптич. интегралов. и К' определяются по формулам [img: http://localhost:8080/file/053304-89.jpg] или при помощи таблиц. При k =0 и k =1 Я. э. ф. вырождаются соответственно в тригонометрич. и гиперболич. функции: [img: http://localhost:8080/file/053304-90.jpg] В теоретич. отношении более простое построение теории эллиптич. функций дано К. Вейерштрассом к 1802-63 (см. Вейерштрасса эллиптические функции). При заданном модуле k, 0<k <1, инварианты Вейерштрасса e 1, е 2, е 3 вычисляются, напр., по формулам е 1= (2-k 2)/3, е 2=(2k 2-1)/3, е 3=-(1+k 2)/3, и далее g 2= -4(e 1e 2+e 2e 3+e 3e 1), g 3=4e 1e 2e 3. Полупериоды теперь определяются по формулам [img: http://localhost:8080/file/053304-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053304-92.jpg] что и дает возможность вычислить все остальные величины, относящиеся к эллиптич. функциям Вейерштрасса.