G-расслоение

, " р а с с л о е н и е с о с т р у кт у р н о й г р у п п о й,- обобщение понятия прямого произведения двух топологич. пространств. Пусть G - топологич. группа, а X - эффективное правое G-пространство, т. е. топологич. пространство с заданным правым действием группы Gтаким, что xg-x влечет g=l, [img: http://localhost:8080/file/041869-104.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041869-105.jpg] подмножество таких пар (х, х'), что x' = xg для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/041869-106.jpg] - пространство орбит и [img: http://localhost:8080/file/041869-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041869-108.jpg] - отображение, сопоставляющее с каждой точкой ее орбиту. Если отображение [img: http://localhost:8080/file/041869-109.jpg] непрерывно, то набор [img: http://localhost:8080/file/041869-110.jpg] (X, р, В)наз. г л а в н ы м р а с с л о е н и е м с о с т р у к т у р н о й г р у п п о й G. Пусть F - левое G-пространство. Топологич. пространство [img: http://localhost:8080/file/041869-111.jpg] снабжается правым действием группы G по формуле [img: http://localhost:8080/file/041869-112.jpg]. Композиция [img: http://localhost:8080/file/041869-113.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/041869-114.jpg]. индуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/041869-115.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041869-116.jpg] (здесь Х F - пространство орбит действия G на [img: http://localhost:8080/file/041869-117.jpg]). Набор [img: http://localhost:8080/file/041869-118.jpg] наз. р а с с л о е н и е м с о с т р у к т у р н о й г р у п п о й, а с с о ц и-и р о в а н н ы м с г л а в н ы м р а с с л о е н и е м x, а набор [img: http://localhost:8080/file/041869-119.jpg] - р а с с л о е н и е м с о с л о е м F, б а з о й В и с т р у к т у р н о й г р у пп о й G. Таким образом, главное расслоение со структурной группой является частью структуры любого расслоения со структурной группой, и оно однозначно определяет расслоение для любого левого G-пространства F. Если [img: http://localhost:8080/file/041869-120.jpg] - два главных расслоения со структурной группой G. то морфизмом [img: http://localhost:8080/file/041869-121.jpg] наз. отображение G-пространств [img: http://localhost:8080/file/041869-122.jpg] Отображение hиндуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/041869-123.jpg] Главное расслоение со структурной группой наз. т р и в и а л ь н ы м, если оно изоморфно расслоению следующего вида: [img: http://localhost:8080/file/041869-124.jpg] Пусть (X, р, В) - главное расслоение и [img: http://localhost:8080/file/041869-125.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041869-126.jpg] - непрерывное отображение произвольного топологич. пространства В' в В. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041869-127.jpg] подмножество таких пар (b, х), что f(b)=p(x). Проекция [img: http://localhost:8080/file/041869-128.jpg] индуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/041869-129.jpg]. Пространство X' обладает естественной структурой правого G-пространства, и тройка (X', р', В')представляет собой главное расслоение, оно индуцировано расслоением (X, р, В)с помощью отображения f и наз. и н д у ц и р о в а н н ы м р а с с л о е н и е м. Если [img: http://localhost:8080/file/041869-130.jpg] - включение подпространства, то (X1, р', В')наз. ограничением (X, р, В). над подпространством В'. Главное расслоение со структурной группой наз. локально т р и в и а л ь н ы м, если его ограничение на нек-рую окрестность любой точки базы Втривиально. Для широкого класса случаев требование локальной тривиальности излишне (напр., если G - компактная группа Ли, X - гладкое G-многообразие). Поэтому часто термин "расслоение" со структурной группой используется в смысле локально тривиального расслоения (или косого произведения). Пусть [img: http://localhost:8080/file/041869-131.jpg] пара расслоений с одной структурной группой и одним G-пространством в качестве слоя. Для морфизма [img: http://localhost:8080/file/041869-132.jpg] главных расслоений отображение [img: http://localhost:8080/file/041869-133.jpg] индуцирует непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/041869-134.jpg], и пара (h,j) наз. морфизмом расслоений со структурной группой [img: http://localhost:8080/file/041869-135.jpg] Локально тривиальное расслоени h=(Х F, р F, F,x) допускает следующее описание, лежащее в основе другого, также общепринятого определения расслоения со структурной группой. Пусть U={и a} - открытое покрытие базы Вдля к-рого ограничение hна и a при всех a тривиально. Выбор тривиализации и их сравнение на пересечениях [img: http://localhost:8080/file/041869-136.jpg] приводит к непрерывным функциям (наз. ф у н к ц и я м и п е р ех о д а) [img: http://localhost:8080/file/041869-137.jpg]. В пересечениях трех окрестностей [img: http://localhost:8080/file/041869-138.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041869-139.jpg], а выбор других тривиализации над каждой окрестностью приводит к новым функциям [img: http://localhost:8080/file/041869-140.jpg]. Таким образом, функции [img: http://localhost:8080/file/041869-141.jpg] образуют одномерный коцикл в смысле Александрова - Чеха с коэффициентами в пучке ростков G-значных функций (коэффициенты неабелевы), и локально тривиальное расслоение определяет этот коцикл с точностью до кограницы.