P-группа

- группа, каждый неединичный элемент к-рой есть р- элемент, т.; здесь р - фиксированное одно и то же для всех элементов группы простое число, а п - натуральное число, вообще говоря, свое для каждого элемента группы. В том же смысле вместо буквы рупотребляют другие буквы, напр. [img: http://localhost:8080/file/010432-8.jpg] но в таком случае их употребление особо оговаривают. Если р - конкретное простое число, напр. 2, 3, 5,..., то говорят о 2-группах, 3-группах и т. д. Иногда р- Г. -группа ([img: http://localhost:8080/file/010432-10.jpg] - заданное множество простых чисел), определяемая как группа, каждый неединичный элемент к-рой есть p-элемент, т. е. элемент, удовлетворяющий условию [img: http://localhost:8080/file/010432-11.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010432-12.jpg] - натуральное число, все простые делители к-рого принадлежат [img: http://localhost:8080/file/010432-13.jpg] Реже в том же смысле пишут П-групна, [img: http://localhost:8080/file/010432-14.jpg] -группа, t-группа. Если N - множество всех простых чисел, то часто обозначают [img: http://localhost:8080/file/010432-15.jpg] и говорят о [img: http://localhost:8080/file/010432-16.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010432-17.jpg] -группах, о [img: http://localhost:8080/file/010432-18.jpg] - и [img: http://localhost:8080/file/010432-19.jpg] -элементах. Подгруппа данной группы, являющаяся р-Г. (p-группой), наз. р-подгруппой (p-подгруппой). Значительная часть работ в теории конечных групп связана с задачей описания произвольных конечных групп через конечные р-Г. и простых конечных групп через 2-группы (см. [1], гл. IV и VI и [2]). Поэтому наиболее интенсивно развиваются направления, связанные с описанием конечных р-Г. по их абелевым подгруппам, либо с их описанием посредством р-автоморфизмов. Бесконечные (неабелевы) р-Г. менее изучены. Ниже приводится небольшое число наиболее важных результатов, грубо разделенных на три части. 1) О результатах, относящихся к решению проблем Бернсайда, см. Бернсайда проблема. 2) Локально конечная р-Г. непроста (см. [3], с. 290). 3) Примеры, показывающие отличие теории конечных р-Г. от общей теории р-Г. а) Существует локально конечная р-Г., к-рая не имеет неединичных абелевых нормальных подгрупп (см. [3], с. 294). б) Существует локально конечная р-Г., совпадающая со своим коммутантом (см. [3], с. 296). См. также Группа с условием конечности.