для определения площади поверхности. В современном виде Б. и. вводится для интегрирования неаддитивной функции [img: http://localhost:8080/file/010205-211.jpg] re-мерного сегмента (бруса). Пусть R есть множество, представимое в виде суммы (объединения) конечного числа сегментов (такое множество наз. фигурой). Каждое представление [img: http://localhost:8080/file/010205-212.jpg] наз. разбиением фигуры R. Верхним Б. и. и нижним Б. и. от функции сегмента [img: http://localhost:8080/file/010205-213.jpg] по фигуре Rназ. соответственно верхний и нижний пределы сумм [img: http://localhost:8080/file/010205-214.jpg] для всевозможных разбиений при стремлении к нулю максимума диаметров сегментов, входящих в разбиение. Если эти интегралы равны, то их общее значение наз. интегралом Бёркиля от функции [img: http://localhost:8080/file/010205-215.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/010205-216.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010205-217.jpg]. Если Fинтегрируема на R, то Fинтегрируема на каждой фигуре [img: http://localhost:8080/file/010205-218.jpg]. Тем самым вводится неопределенный Б. и., к-рый является аддитивной функцией множества. Если Fнепрерывна, то и неопределенный Б. и. непрерывен. Понятие Б. и. может быть обобщено на случай функции множества, определенной на нек-ром классе подмножеств абстрактного пространства с мерой. Этот класс должен удовлетворять ряду требований; в частности, каждое множество из данного класса должно допускать разбиение на составляющие множества из того же класса, имеющие произвольно малые меры. Тогда для любого множества из класса определяется Б. и. по аналогии с n-мерным случаем, причем соответствующие пределы берутся при стремлении к нулю максимума мер составляющих множеств. Б. и. естественным образом обобщается на функции множества со значениями в коммутативной топологич. группе. Б. и. является менее общим, чем введенный позднее Колмогорова интеграл, наз. также интегралом Бёркиля - Колмогорова. Всякая интегрируемая по Бёркилю функция интегрируема по Колмогорову при соответствующем упорядочении разбиений. Обратное верно лишь при нек-рых дополнительных условиях. Б. и. используется для построения Данжуа интеграла в различных пространствах. Интегралом Бёркиля наз. также ряд введенных Дж. Бёркилем обобщений Перрона интеграла(АР- интеграл СР- интеграл, SCP- интеграл), в определении к-рых вместо обычных производных чисел используются нек-рые обобщенные производные числа. Эти Б. и. находят применение в теории тригонометрич. рядов. Лит

http://libmeta.ru/resource/mathenc/publication/p6265