ИНДЕФИНИТНАЯ МЕТРИКА

обобщение скалярного произведения, когда на него не накладывается условие положительной определенности. В конечномерном векторном пространстве индефинитное скалярное произведение в координатной записи дается формулой \[ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\sum_{i, j} g_{i j} x^{i^{*}} y^{j} \] (в случае комплексного пространства, знак * означает комплексное сопряжение) или \[ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\sum_{i, j} g_{i j} x^{i} y^{j} \] (в случае вещественного пространства); здесь $g \equiv\left\{g_{i j}\right\}-$ невырожденная эрмитова матрица (в комплексном случае) или невырожденная вещественная симметричная матрица (в вещественном случае). Вещественные пространства с И. м. называются также псевдоевклидовыми пространствами; важнейшим физич. примером является Минковского пространство-время (пространство-время специальной теории относительности). Псевдориманова геометрия (построенная по типу римановой, но с И. м.) лежит в основе математич. аппарата общей теории относительности (теории тяготения Эйнштейна - Гильберта). Комплексные пространства с И. м. (называемые псевдогильбертовыми пространствами) находят применение в квантовой теории поля. См. также Пространство с индефинитной метрикой.

обобщение скалярного произведения, когда на него не накладывается условие положительной определенности. В конечномерном векторном пространстве индефинитное скалярное произведение в координатной записи дается формулой \[ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\sum_{i, j} g_{i j} x^{i^{*}} y^{j} \] (в случае комплексного пространства, знак * означает комплексное сопряжение) или \[ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\sum_{i, j} g_{i j} x^{i} y^{j} \] (в случае вещественного пространства); здесь $g \equiv\left\{g_{i j}\right\}-$ невырожденная эрмитова матрица (в комплексном случае) или невырожденная вещественная симметричная матрица (в вещественном случае). Вещественные пространства с И. м. называются также псевдоевклидовыми пространствами; важнейшим физич. примером является Минковского пространство-время (пространство-время специальной теории относительности). Псевдориманова геометрия (построенная по типу римановой, но с И. м.) лежит в основе математич. аппарата общей теории относительности (теории тяготения Эйнштейна - Гильберта). Комплексные пространства с И. м. (называемые псевдогильбертовыми пространствами) находят применение в квантовой теории поля. См. также Пространство с индефинитной метрикой.