ИНСТРУМЕНТ

одно из основных понятий современной статистической теории квантового измерения. Понятие «И.» формализует наиболее общие правила изменения состояния при измерении, совместимые с вероятностной интерпретацией квантовой механики, и позволяет снять ряд трудностей в ее стандартной формулировке (см. Воспроизводимости гипотеза, Квантовое измерение). Пусть $H$ - гильбертово пространство квантовой системы, $X$ - измеримое пространство с $\sigma$-алгеброй измеримых подмножеств $\Re(X)$ (множество возможных исходов измерения). Инструментом называется функция множеств $\mu(\cdot)$, сопоставляющая любому измеримому множеству $B \in \mathscr{B}(X)$ операцию . $\boldsymbol{A}(B)$ таким образом, что: 1) $\mathscr{M}(X)-$ неселективная операция, то есть \[ \operatorname{Tr} . \mu(X)[T]=\operatorname{Tr} T \] для любого ядерного оператора $T$ в $H$; 2) $\mathscr{\mu}(\cdot) \sigma$-аддитивна, то есть \[ \cdot \mu\left(\bigcup_{i} B_{i}\right)[T]=\sum_{i} \cdot \boldsymbol{\mu}\left(B_{i}\right)[T] \] для любого конечного или счетного набора попарно непересекающихся множеств $B_{i} \in \Re(X)$, где ряд сходится по ядерной норме. Если $\rho-$ оператор плотности, описывающий состояние системы (статистич. ансамбль) перед измерением, то вероятность события, что исход измерения попадает в множество $B$, равна \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \cdot \mu(B)[\rho] \] При этом состояние доли статистич. ансамбля, для к-рой это событие выполняется, описывается оператором плотности . $\|(B)[\rho] / \operatorname{Tr} \mathscr{M}(B)[\rho]$. В частности, изменение состояния всего статистич. ансамбля задается отображением $\rho \rightarrow . \mu(X)[\rho]$. Сопряженным инструментом называется функция множеств $\mu(B)^{*} ; B \in \mathscr{B}(X)$, где $\mathscr{\mu}(B)^{*}-$ сопряженное к.M $(B)$ линейное положительное нормальное отображение алгебры $\mathcal{\&}(\boldsymbol{H})$ ограниченных операторов в $H$. Условие 1) принимает вид. $\boldsymbol{\Lambda}(X)^{*}[I]=I$, где $I-$ единичный оператор в $H$. С каждым И. связано разложение единицы $M(B)$; $B \in \mathcal{B}(X)$, где $M(B)=\mathscr{\mu}(B)^{*}[I]$, задающее распределение вероятностей исходов измерения по формуле \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \rho M(B) ; B \in \mathscr{B}(X) . \] Основной интерес представляют вполне положительные инструменты, для к-рых $\mathscr{\mu}(B)^{*}-$ вполне положительное отображение для любого $B \in \mathscr{B}(X)$. Такие И. соответствуют процессам косвенного измерения в квантовой механике. Общий пример вполне положительного И. дается формулой \[ \mu(B)[T]=\int_{B} A(x) T A(x)^{*} \mu(d x), \] где $A(x), x \in X$,- семейство операторов, $\mu(d x)$ - мера на $X$, удовлетворяющие условию \[ \int_{X} A(x)^{*} A(x) \mu(d x)=I . \] А. С. Холево.

одно из основных понятий современной статистической теории квантового измерения. Понятие «И.» формализует наиболее общие правила изменения состояния при измерении, совместимые с вероятностной интерпретацией квантовой механики, и позволяет снять ряд трудностей в ее стандартной формулировке (см. Воспроизводимости гипотеза, Квантовое измерение). Пусть $H$ - гильбертово пространство квантовой системы, $X$ - измеримое пространство с $\sigma$-алгеброй измеримых подмножеств $\Re(X)$ (множество возможных исходов измерения). Инструментом называется функция множеств $\mu(\cdot)$, сопоставляющая любому измеримому множеству $B \in \mathscr{B}(X)$ операцию . $\boldsymbol{A}(B)$ таким образом, что: 1) $\mathscr{M}(X)-$ неселективная операция, то есть \[ \operatorname{Tr} . \mu(X)[T]=\operatorname{Tr} T \] для любого ядерного оператора $T$ в $H$; 2) $\mathscr{\mu}(\cdot) \sigma$-аддитивна, то есть \[ \cdot \mu\left(\bigcup_{i} B_{i}\right)[T]=\sum_{i} \cdot \boldsymbol{\mu}\left(B_{i}\right)[T] \] для любого конечного или счетного набора попарно непересекающихся множеств $B_{i} \in \Re(X)$, где ряд сходится по ядерной норме. Если $\rho-$ оператор плотности, описывающий состояние системы (статистич. ансамбль) перед измерением, то вероятность события, что исход измерения попадает в множество $B$, равна \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \cdot \mu(B)[\rho] \] При этом состояние доли статистич. ансамбля, для к-рой это событие выполняется, описывается оператором плотности . $\|(B)[\rho] / \operatorname{Tr} \mathscr{M}(B)[\rho]$. В частности, изменение состояния всего статистич. ансамбля задается отображением $\rho \rightarrow . \mu(X)[\rho]$. Сопряженным инструментом называется функция множеств $\mu(B)^{*} ; B \in \mathscr{B}(X)$, где $\mathscr{\mu}(B)^{*}-$ сопряженное к.M $(B)$ линейное положительное нормальное отображение алгебры $\mathcal{\&}(\boldsymbol{H})$ ограниченных операторов в $H$. Условие 1) принимает вид. $\boldsymbol{\Lambda}(X)^{*}[I]=I$, где $I-$ единичный оператор в $H$. С каждым И. связано разложение единицы $M(B)$; $B \in \mathcal{B}(X)$, где $M(B)=\mathscr{\mu}(B)^{*}[I]$, задающее распределение вероятностей исходов измерения по формуле \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \rho M(B) ; B \in \mathscr{B}(X) . \] Основной интерес представляют вполне положительные инструменты, для к-рых $\mathscr{\mu}(B)^{*}-$ вполне положительное отображение для любого $B \in \mathscr{B}(X)$. Такие И. соответствуют процессам косвенного измерения в квантовой механике. Общий пример вполне положительного И. дается формулой \[ \mu(B)[T]=\int_{B} A(x) T A(x)^{*} \mu(d x), \] где $A(x), x \in X$,- семейство операторов, $\mu(d x)$ - мера на $X$, удовлетворяющие условию \[ \int_{X} A(x)^{*} A(x) \mu(d x)=I . \] А. С. Холево.