АППЕЛЯ УРАВНЕНИЯ

обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие движение как голономных, так и неголономных систем, установленные П. Аппелем [1]. Иногда А.у. называются уравнениями Гиббса-Аппеля, так как для голономных систем ранее их установил Дж. Гиббс [3]. А.у. в независимых лагранжевых координатах $q_{s}, s=1, \ldots, n$, имеют вид уравнений 2-го порядка \[ \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{i}}=Q_{i}^{*}, \mathrm{i}=1, \ldots, k \leqslant n . \] Здесь \[ S=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{N} m_{v} w_{v}^{2} \] ( $m_{v}$ и $w_{v}$ - массы и ускорения $N$ точек системы) - энергия ускорения системы, выраженная таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от координат $q_{i}, i=1, \ldots, k$, вариации к-рых рассматриваются как независимые, $Q_{i}^{*}$ - обобщенные силы, соответствующие координатам $q_{i}$, получаемые как коэффициенты при независимых вариациях $\delta q_{i}$ в выражении суммы элементарных работ заданных активных сил $F_{\mathrm{v}}$ на возможных перемещениях $\delta r_{\mathrm{v}}$: \[ \sum_{v=1}^{N} F_{v} \delta r_{v}=\sum_{i=1}^{k} Q_{i}^{*} \delta q_{i} \] При вычислении $S$ и $Q_{i}^{*}$ зависимые $\dot{q}_{i}\left(\delta q_{j}\right), j=k+1, \ldots, n$, выражаются через независимые скорости (вариации) разрешением $n-k$ уравнений неголономных связей (см. Неголономная система), выраженных в обобщенных координатах $q_{s}$ (и уравнений для $\delta q_{s}$, получаемых из последних). Дифференцированием по времени $t$ найденных выражений для $\dot{q}_{j}$ получаются выражения $\ddot{q}_{j}$ через $\ddot{q}_{i}$. Уравнения (1) совместно с $n-k$ уравнениями неинтегрируемых связей образуют систему (порядка $n+k$) $n$ дифференциальных уравнений для $n$ неизвестных $q_{s}$. В случае голономной системы $k=n$ все скорости $q_{s}$ и вариации $\delta q_{s}$ независимы, $Q_{i}^{*}=Q_{i}$ и уравнения (1) представляют собой иную запись уравнений Лагранжа 2-го рода. А. у. в квазикоординатах $\pi_{r}$, где \[ \dot{\pi}_{r}=\sum_{i=1}^{n} a_{r_{i}} \dot{q}_{i}, \quad r=1, \ldots, k \] имеют вид \[ \frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{r}}=\Pi_{r}, \quad r=1, \ldots, k \leqslant n . \] Здесь $S-$ энергия ускорений, выраженная через вторые производные $\ddot{\pi}_{r}$ по времени от квазикоординат, $\Pi_{r}-$ обобщенные силы, соответствующие квазикоординатам. Уравнения (3) совместно с $n-k$ уравнениями неинтегрируемых связей и $k$ уравнениями (2) образуют систему $n+k$ дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно такого же числа неизвестных $q_{s}, s=1, \ldots, n$ и $\dot{\pi}_{r}, r=1, \ldots, k$. А. у. являются наиболее общими уравнениями движения механич. систем. Лит.: [1] Appell P. E., «Comp. Rend.», 1899, t. 129; [2] его же, «J. reine und angew. Math.», 1900, Bd 122, S. 205-08; [3] Gibbs J. W., «Amer. J. Math.», 1879, v. 2, p. 49-64. В. В. Румянцев.

обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие движение как голономных, так и неголономных систем, установленные П. Аппелем [1]. Иногда А.у. называются уравнениями Гиббса-Аппеля, так как для голономных систем ранее их установил Дж. Гиббс [3]. А.у. в независимых лагранжевых координатах $q_{s}, s=1, \ldots, n$, имеют вид уравнений 2-го порядка \[ \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{i}}=Q_{i}^{*}, \mathrm{i}=1, \ldots, k \leqslant n . \] Здесь \[ S=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{N} m_{v} w_{v}^{2} \] ( $m_{v}$ и $w_{v}$ - массы и ускорения $N$ точек системы) - энергия ускорения системы, выраженная таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от координат $q_{i}, i=1, \ldots, k$, вариации к-рых рассматриваются как независимые, $Q_{i}^{*}$ - обобщенные силы, соответствующие координатам $q_{i}$, получаемые как коэффициенты при независимых вариациях $\delta q_{i}$ в выражении суммы элементарных работ заданных активных сил $F_{\mathrm{v}}$ на возможных перемещениях $\delta r_{\mathrm{v}}$: \[ \sum_{v=1}^{N} F_{v} \delta r_{v}=\sum_{i=1}^{k} Q_{i}^{*} \delta q_{i} \] При вычислении $S$ и $Q_{i}^{*}$ зависимые $\dot{q}_{i}\left(\delta q_{j}\right), j=k+1, \ldots, n$, выражаются через независимые скорости (вариации) разрешением $n-k$ уравнений неголономных связей (см. Неголономная система), выраженных в обобщенных координатах $q_{s}$ (и уравнений для $\delta q_{s}$, получаемых из последних). Дифференцированием по времени $t$ найденных выражений для $\dot{q}_{j}$ получаются выражения $\ddot{q}_{j}$ через $\ddot{q}_{i}$. Уравнения (1) совместно с $n-k$ уравнениями неинтегрируемых связей образуют систему (порядка $n+k$) $n$ дифференциальных уравнений для $n$ неизвестных $q_{s}$. В случае голономной системы $k=n$ все скорости $q_{s}$ и вариации $\delta q_{s}$ независимы, $Q_{i}^{*}=Q_{i}$ и уравнения (1) представляют собой иную запись уравнений Лагранжа 2-го рода. А. у. в квазикоординатах $\pi_{r}$, где \[ \dot{\pi}_{r}=\sum_{i=1}^{n} a_{r_{i}} \dot{q}_{i}, \quad r=1, \ldots, k \] имеют вид \[ \frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{r}}=\Pi_{r}, \quad r=1, \ldots, k \leqslant n . \] Здесь $S-$ энергия ускорений, выраженная через вторые производные $\ddot{\pi}_{r}$ по времени от квазикоординат, $\Pi_{r}-$ обобщенные силы, соответствующие квазикоординатам. Уравнения (3) совместно с $n-k$ уравнениями неинтегрируемых связей и $k$ уравнениями (2) образуют систему $n+k$ дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно такого же числа неизвестных $q_{s}, s=1, \ldots, n$ и $\dot{\pi}_{r}, r=1, \ldots, k$. А. у. являются наиболее общими уравнениями движения механич. систем. Лит.: [1] Appell P. E., «Comp. Rend.», 1899, t. 129; [2] его же, «J. reine und angew. Math.», 1900, Bd 122, S. 205-08; [3] Gibbs J. W., «Amer. J. Math.», 1879, v. 2, p. 49-64. В. В. Румянцев.