ИСКЛЮЧЕНИЯ БОЗОННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОД

метод построения иерархий операторных уравнений для модельных задач статистической механики, описывающих взаимодействия вещества с бозонными полями. К таким задачам относятся Дикке модель в теории сверхизлучения, Фрелиха модель в теории полярона и др. Пусть модельная задача характеризуется гамильтонианом вида \[ H=\sum_{k} \omega_{k} a_{k}^{+} a_{k}+H_{M}+\sum_{k} e^{\varepsilon t}\left(M_{k} a_{k}+a_{k}^{+} M_{k}^{+}\right), \] где $a^{+}, a$ - бозе-операторы рождения и гибели (см. Вторичное квантование), $H_{M}$ - гамильтониан вещества; последнее слагаемое описывает взаимодействие вещества, задаваемого операторами $M$, с полем. Предполагается, что в начальный момент времени бозе-поле находится в равновесном состоянии и что включение взаимодействия между полем и веществом совершается адиабатически. Уравнение движения для произвольного оператора $O$, относящегося к веществу, имеет вид \[ i \frac{\delta O}{\delta t}=[O, H]=\left[O, H_{M}\right]+\left[0, \sum_{k}\left(M_{k} a_{k}+a_{k}^{+} M_{k}^{+}\right)\right], \] где $[A, B]=A B-B A$. Подставляя сюда формальное решение уравнений движения для бозе-операторов \[ \begin{gathered} a_{k}(t)=a_{k}\left(t_{0}\right) \exp \left\{-i \omega_{k}\left(t-t_{0}\right)\right\}-i m_{k}^{+}(t), \\ m_{k}^{+}=\int_{t_{0}}^{t} \exp \left\{i \omega_{k}(\tau-t)\right\} M_{k}^{+}(\tau) d \tau, \end{gathered} \] переходя к усреднению с матрицей плотности начального состояния $\rho\left(t_{0}\right)$, используя равенства \[ \left.\begin{array}{l} \left\langle O, \tilde{a}_{k}\right\rangle_{t}=N_{k}\left\langle\left[\tilde{a}_{k}, O\right]\right\rangle_{t}, \\ \left\langle\tilde{a}_{k}, O\right\rangle_{t}=\left(1+N_{k}\right)\left\langle\left[\tilde{a}_{k}, O\right]\right\rangle_{t}, \end{array}\right\} \] где \[ \begin{gathered} \langle\ldots\rangle_{t} \equiv \operatorname{Sp}\left\{\ldots \rho\left(t_{0}\right)\right\}, \tilde{a}_{k} \equiv a_{k}\left(t_{0}\right) \exp \left\{-i \omega_{k}\left(t-t_{0}\right)\right\}, \\ N_{k} \equiv \exp \left\{-\beta \omega_{k}\right\} /\left(1-\exp \left\{-\beta \omega_{k}\right\}\right), \end{gathered} \] $\beta$ - обратная температура начального равновесного состояния бозе-поля, и переходя к пределу $t_{0} \rightarrow-\infty, \varepsilon \rightarrow 0$, можно получить иерархич. интегро-дифференциальное уравнение вида \[ \begin{gathered} \frac{\delta}{\delta t}\langle 0\rangle_{t}+i\left\langle\left[O, H_{M}\right]\right\rangle_{t}= \\ =\sum_{k} \int_{-\infty}^{t} d \tau \exp \left\{i \omega_{k}(\tau-t)\right\}\left\{N_{k}\left\langle M_{k}^{+}(\tau)\left[O(t), M_{k}(t)\right]\right\rangle_{t}+\right. \\ \left.+\left(1+N_{k}\right)\left\langle\left[M_{k}(t), O(t)\right] M_{k}^{+}(\tau)\right\rangle_{t}\right\}+ \\ +\sum_{k} \int_{-\infty}^{t} d \tau \exp \left\{-i \omega_{k}(\tau-t)\right\}\left\{N_{k}\left\langle\left[M_{k}^{+}(t), O(t)\right] M_{k}(\tau)\right\rangle_{t}^{+}\right. \\ \left.+\left(1+N_{k}\right)\left\langle M_{k}(\tau)\left[O(t), M_{k}^{+}(t)\right]\right\rangle_{t}\right\} . \end{gathered} \] Соотношения (3) носят название леммы Боголюбова. Иерархич. уравнение (4) содержит только операторы, относящиеся к веществу, причем средние в правой части представляют собой двухвременные корреляционные функции, содержащие произведения операторов более высокого порядка, чем средние в левой части. Для получения из (4) замкнутой системы уравнений необходимо провести расцепление высших корреляторов, обусловленное физич. соображениями. И. б. п. м. и получаемое на его основе иерархич. уравнение (4) применяются для описания динамики сверхизлучения, кинетики полярона и в ряде других физич. задач с гамильтонианами, представимыми в виде (1). Метод развит Н.Н. Боголюбовым и Н. Н. Боголюбовым (мл.) (см. [1]). Лит.: [1] Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.), «Физика элементарных частиц и атомного ядра», 1980, т. 11, в. 2, с. 245-300; [2] Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., Шумовский А. С., Математические методы статистической ме$\begin{array}{ll}\text { ханики модельных систем, М., } 1989 . & \text { A. С. Шумовский. }\end{array}$

метод построения иерархий операторных уравнений для модельных задач статистической механики, описывающих взаимодействия вещества с бозонными полями. К таким задачам относятся Дикке модель в теории сверхизлучения, Фрелиха модель в теории полярона и др. Пусть модельная задача характеризуется гамильтонианом вида \[ H=\sum_{k} \omega_{k} a_{k}^{+} a_{k}+H_{M}+\sum_{k} e^{\varepsilon t}\left(M_{k} a_{k}+a_{k}^{+} M_{k}^{+}\right), \] где $a^{+}, a$ - бозе-операторы рождения и гибели (см. Вторичное квантование), $H_{M}$ - гамильтониан вещества; последнее слагаемое описывает взаимодействие вещества, задаваемого операторами $M$, с полем. Предполагается, что в начальный момент времени бозе-поле находится в равновесном состоянии и что включение взаимодействия между полем и веществом совершается адиабатически. Уравнение движения для произвольного оператора $O$, относящегося к веществу, имеет вид \[ i \frac{\delta O}{\delta t}=[O, H]=\left[O, H_{M}\right]+\left[0, \sum_{k}\left(M_{k} a_{k}+a_{k}^{+} M_{k}^{+}\right)\right], \] где $[A, B]=A B-B A$. Подставляя сюда формальное решение уравнений движения для бозе-операторов \[ \begin{gathered} a_{k}(t)=a_{k}\left(t_{0}\right) \exp \left\{-i \omega_{k}\left(t-t_{0}\right)\right\}-i m_{k}^{+}(t), \\ m_{k}^{+}=\int_{t_{0}}^{t} \exp \left\{i \omega_{k}(\tau-t)\right\} M_{k}^{+}(\tau) d \tau, \end{gathered} \] переходя к усреднению с матрицей плотности начального состояния $\rho\left(t_{0}\right)$, используя равенства \[ \left.\begin{array}{l} \left\langle O, \tilde{a}_{k}\right\rangle_{t}=N_{k}\left\langle\left[\tilde{a}_{k}, O\right]\right\rangle_{t}, \\ \left\langle\tilde{a}_{k}, O\right\rangle_{t}=\left(1+N_{k}\right)\left\langle\left[\tilde{a}_{k}, O\right]\right\rangle_{t}, \end{array}\right\} \] где \[ \begin{gathered} \langle\ldots\rangle_{t} \equiv \operatorname{Sp}\left\{\ldots \rho\left(t_{0}\right)\right\}, \tilde{a}_{k} \equiv a_{k}\left(t_{0}\right) \exp \left\{-i \omega_{k}\left(t-t_{0}\right)\right\}, \\ N_{k} \equiv \exp \left\{-\beta \omega_{k}\right\} /\left(1-\exp \left\{-\beta \omega_{k}\right\}\right), \end{gathered} \] $\beta$ - обратная температура начального равновесного состояния бозе-поля, и переходя к пределу $t_{0} \rightarrow-\infty, \varepsilon \rightarrow 0$, можно получить иерархич. интегро-дифференциальное уравнение вида \[ \begin{gathered} \frac{\delta}{\delta t}\langle 0\rangle_{t}+i\left\langle\left[O, H_{M}\right]\right\rangle_{t}= \\ =\sum_{k} \int_{-\infty}^{t} d \tau \exp \left\{i \omega_{k}(\tau-t)\right\}\left\{N_{k}\left\langle M_{k}^{+}(\tau)\left[O(t), M_{k}(t)\right]\right\rangle_{t}+\right. \\ \left.+\left(1+N_{k}\right)\left\langle\left[M_{k}(t), O(t)\right] M_{k}^{+}(\tau)\right\rangle_{t}\right\}+ \\ +\sum_{k} \int_{-\infty}^{t} d \tau \exp \left\{-i \omega_{k}(\tau-t)\right\}\left\{N_{k}\left\langle\left[M_{k}^{+}(t), O(t)\right] M_{k}(\tau)\right\rangle_{t}^{+}\right. \\ \left.+\left(1+N_{k}\right)\left\langle M_{k}(\tau)\left[O(t), M_{k}^{+}(t)\right]\right\rangle_{t}\right\} . \end{gathered} \] Соотношения (3) носят название леммы Боголюбова. Иерархич. уравнение (4) содержит только операторы, относящиеся к веществу, причем средние в правой части представляют собой двухвременные корреляционные функции, содержащие произведения операторов более высокого порядка, чем средние в левой части. Для получения из (4) замкнутой системы уравнений необходимо провести расцепление высших корреляторов, обусловленное физич. соображениями. И. б. п. м. и получаемое на его основе иерархич. уравнение (4) применяются для описания динамики сверхизлучения, кинетики полярона и в ряде других физич. задач с гамильтонианами, представимыми в виде (1). Метод развит Н.Н. Боголюбовым и Н. Н. Боголюбовым (мл.) (см. [1]). Лит.: [1] Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.), «Физика элементарных частиц и атомного ядра», 1980, т. 11, в. 2, с. 245-300; [2] Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., Шумовский А. С., Математические методы статистической ме$\begin{array}{ll}\text { ханики модельных систем, М., } 1989 . & \text { A. С. Шумовский. }\end{array}$