АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ВРЕМЕННАЯ

асимптотические разложения при больших временах решений эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Для линейных уравнений основными методами построения временных А. р. служат метод функций Грина, метод Фурье и другие способы интегрального представления решений. Функция Грина линейного дифференциального оператора $L(x, t, D)=\sum_{|\alpha| \leqslant m} a_{\alpha}(x, t) D^{\alpha}, D=\left(\partial / \partial x_{1}, \partial / \partial x_{2}, \ldots, \partial / \partial x_{n}, \partial / \partial t\right)$, с заданными (однородными) краевыми условиями на границе области $\Omega$ изменения переменных $(x, t)$ удовлетворяет при каждом $(\xi, \tau) \in \Omega$ уравнению \[ L(x, t, D) G(x, t ; \xi, \tau)=\delta(x-\xi, t-\tau) . \] В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения краевой задачи $L u=f$, последнее представляется в виде: \[ u(x, t)=\int_{\Omega} G(x, t ; \xi, \tau) f(\xi, \tau) d \xi d \tau . \] Асимптотика интеграла (1) при $t \rightarrow \infty$ может быть исследована методом перевала (Лапласа, стационарной фазы), для чего необходимы соответствующие оценки функции Грина. В случае постоянных коэффициентов $L$ и отсутствия граничных условий роль $G$ играет фундаментальное решение, выписываемое явно для классич. уравнений математич. физики (волнового, теплопроводности и др.). Метод Фурье эффективен для построения временных A. p. при условии, что коэффициенты уравнения и граничные условия не зависят от времени. Так, задача рассеяния для нестационарного уравнения Шредингера с финитным потенциалом имеет решение \[ i u_{t}+\Delta u-V(x) u=k^{2} u, x \in \mathbb{R}^{3} \] \[ u(x, t)=(2 \pi)^{-3 / 2} \int_{\mathbb{R}^{3}} C(k, \omega) \tilde{u}(x, \hat{k}) \exp \left(-i k^{2} t\right) d \hat{k}, \omega=\frac{\hat{k}}{k}, \] где \[ \tilde{u}(x, \hat{k})=e^{i \hat{k} x}-\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{e^{i k|x-y|}}{|x-y|} V(y) \tilde{u}(y, \hat{k}) d y \] удовлетворяет интегральному Липпмана-Швингера уравнению. Его асимптотика при $r \rightarrow \infty, r=|x|$, дается формулой \[ \begin{gathered} \tilde{u}(x, \hat{k})=\frac{2 \pi i}{k r}\left(e^{-i k r} \delta(\omega+x / r)-e^{i k r}(\delta(\omega-x / r)+\right. \\ \left.+\frac{i k}{2 \pi} f(k, x / r)\right)+o\left(r^{-1}\right) . \end{gathered} \] Считая величину $s=r / 2 t$ ограниченной и используя метод стационарной фазы для интеграла (2), получаем главные члены временной А. p.: \[ \begin{gathered} u(x, t)=(2|t|)^{-3 / 2} C(-s,-x / r) e^{i r^{2} / 4 t}+O\left(|t|^{-2}\right), \quad t \rightarrow-\infty, \\ u(x, t)=(2 t)^{-3 / 2}\left(C(s, x / r)+\frac{i s}{2 \pi} f(s, x / r) \int_{S^{2}} C(k, \omega) d \omega\right) e^{i r^{2} / 4 t}+ \\ +O\left(t^{-2}\right), \quad t \rightarrow+\infty . \end{gathered} \] Для нелинейных уравнений математич. физики процедуры построения временных А.р. связаны, в основном, с анализом устойчивости тех или иных автомодельных решений, а также с методом обратной задачи. Примером первого подхода может служить простейшее уравнение реакции-диффузии \[ u_{t}=u(1-u)+u_{x x} \] известное как уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова. Ими было доказано, что временная А. p. задачи Коши с монотонным начальным условием $0 \leqslant u(x, 0) \leqslant 1$ представляет собой бегущую волну \[ u(x, t)=f(z)+o(1) \] где \[ z=x+c t, c=2+O(\ln t / t), \] a $f$ является устойчивым решением уравнения \[ f^{\prime \prime}-2 f^{\prime}+f(1-f)=0 \] с условиями $f(-\infty)=0, f(+\infty)=1$. Метод обратной задачи используется для асимптотич. интегрирования солитонных уравнений таких, как уравнение Кортевега-де Фриса, уравнение синус-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера и др. Задача Коши для них в классе быстроубывающих начальных условий имеет временную А.р. в виде суммы $N$ солитонов плюс убывающая по $t$ быстроосциллирующая часть. Последняя строится явно в терминах матрицы рассеяния, отвечающей непрерывному спектру задачи рассеяния, порожденному начальным условием. Затем методом одевания добавляется $N$-солитонное решение, отвечающее дискретному спектру. В случае отсутствия дискретного спектра временная А. р. имеет следующий главный член (для нелинейного уравнения Шредингера $i u_{t}+u_{x x}-2|u|^{2} u=0$ ): \[ \begin{gathered} u(x, t)=t^{-1 / 2} A(s) \exp \left\{i t\left[s^{2}-2 A^{2}(s) \frac{\ln t}{t}+\frac{\phi(s)}{t}\right]\right\}+ \\ +O\left(t^{-3 / 2} \ln t\right), \quad t \rightarrow \infty, \end{gathered} \] где $s=x / 2 t$, а функции $A(s), \phi(s)$ явно выражаются через элементы матрицы рассеяния $S$ для начального условия $u(x, 0)$, напр. \[ A^{2}(s)=-\frac{1}{2 \pi} \ln \left|S_{11}(s)\right| . \]

асимптотические разложения при больших временах решений эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Для линейных уравнений основными методами построения временных А. р. служат метод функций Грина, метод Фурье и другие способы интегрального представления решений. Функция Грина линейного дифференциального оператора $L(x, t, D)=\sum_{|\alpha| \leqslant m} a_{\alpha}(x, t) D^{\alpha}, D=\left(\partial / \partial x_{1}, \partial / \partial x_{2}, \ldots, \partial / \partial x_{n}, \partial / \partial t\right)$, с заданными (однородными) краевыми условиями на границе области $\Omega$ изменения переменных $(x, t)$ удовлетворяет при каждом $(\xi, \tau) \in \Omega$ уравнению \[ L(x, t, D) G(x, t ; \xi, \tau)=\delta(x-\xi, t-\tau) . \] В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения краевой задачи $L u=f$, последнее представляется в виде: \[ u(x, t)=\int_{\Omega} G(x, t ; \xi, \tau) f(\xi, \tau) d \xi d \tau . \] Асимптотика интеграла (1) при $t \rightarrow \infty$ может быть исследована методом перевала (Лапласа, стационарной фазы), для чего необходимы соответствующие оценки функции Грина. В случае постоянных коэффициентов $L$ и отсутствия граничных условий роль $G$ играет фундаментальное решение, выписываемое явно для классич. уравнений математич. физики (волнового, теплопроводности и др.). Метод Фурье эффективен для построения временных A. p. при условии, что коэффициенты уравнения и граничные условия не зависят от времени. Так, задача рассеяния для нестационарного уравнения Шредингера с финитным потенциалом имеет решение \[ i u_{t}+\Delta u-V(x) u=k^{2} u, x \in \mathbb{R}^{3} \] \[ u(x, t)=(2 \pi)^{-3 / 2} \int_{\mathbb{R}^{3}} C(k, \omega) \tilde{u}(x, \hat{k}) \exp \left(-i k^{2} t\right) d \hat{k}, \omega=\frac{\hat{k}}{k}, \] где \[ \tilde{u}(x, \hat{k})=e^{i \hat{k} x}-\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{e^{i k|x-y|}}{|x-y|} V(y) \tilde{u}(y, \hat{k}) d y \] удовлетворяет интегральному Липпмана-Швингера уравнению. Его асимптотика при $r \rightarrow \infty, r=|x|$, дается формулой \[ \begin{gathered} \tilde{u}(x, \hat{k})=\frac{2 \pi i}{k r}\left(e^{-i k r} \delta(\omega+x / r)-e^{i k r}(\delta(\omega-x / r)+\right. \\ \left.+\frac{i k}{2 \pi} f(k, x / r)\right)+o\left(r^{-1}\right) . \end{gathered} \] Считая величину $s=r / 2 t$ ограниченной и используя метод стационарной фазы для интеграла (2), получаем главные члены временной А. p.: \[ \begin{gathered} u(x, t)=(2|t|)^{-3 / 2} C(-s,-x / r) e^{i r^{2} / 4 t}+O\left(|t|^{-2}\right), \quad t \rightarrow-\infty, \\ u(x, t)=(2 t)^{-3 / 2}\left(C(s, x / r)+\frac{i s}{2 \pi} f(s, x / r) \int_{S^{2}} C(k, \omega) d \omega\right) e^{i r^{2} / 4 t}+ \\ +O\left(t^{-2}\right), \quad t \rightarrow+\infty . \end{gathered} \] Для нелинейных уравнений математич. физики процедуры построения временных А.р. связаны, в основном, с анализом устойчивости тех или иных автомодельных решений, а также с методом обратной задачи. Примером первого подхода может служить простейшее уравнение реакции-диффузии \[ u_{t}=u(1-u)+u_{x x} \] известное как уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова. Ими было доказано, что временная А. p. задачи Коши с монотонным начальным условием $0 \leqslant u(x, 0) \leqslant 1$ представляет собой бегущую волну \[ u(x, t)=f(z)+o(1) \] где \[ z=x+c t, c=2+O(\ln t / t), \] a $f$ является устойчивым решением уравнения \[ f^{\prime \prime}-2 f^{\prime}+f(1-f)=0 \] с условиями $f(-\infty)=0, f(+\infty)=1$. Метод обратной задачи используется для асимптотич. интегрирования солитонных уравнений таких, как уравнение Кортевега-де Фриса, уравнение синус-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера и др. Задача Коши для них в классе быстроубывающих начальных условий имеет временную А.р. в виде суммы $N$ солитонов плюс убывающая по $t$ быстроосциллирующая часть. Последняя строится явно в терминах матрицы рассеяния, отвечающей непрерывному спектру задачи рассеяния, порожденному начальным условием. Затем методом одевания добавляется $N$-солитонное решение, отвечающее дискретному спектру. В случае отсутствия дискретного спектра временная А. р. имеет следующий главный член (для нелинейного уравнения Шредингера $i u_{t}+u_{x x}-2|u|^{2} u=0$ ): \[ \begin{gathered} u(x, t)=t^{-1 / 2} A(s) \exp \left\{i t\left[s^{2}-2 A^{2}(s) \frac{\ln t}{t}+\frac{\phi(s)}{t}\right]\right\}+ \\ +O\left(t^{-3 / 2} \ln t\right), \quad t \rightarrow \infty, \end{gathered} \] где $s=x / 2 t$, а функции $A(s), \phi(s)$ явно выражаются через элементы матрицы рассеяния $S$ для начального условия $u(x, 0)$, напр. \[ A^{2}(s)=-\frac{1}{2 \pi} \ln \left|S_{11}(s)\right| . \]