АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КОММУТАТИВНОСТЬ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

свойство операторов, коммутатор которых обращается в нуль в термодинамическом пределе. В методе аппроксимирующего гамильтониана представляет интерес А. к. нек-рых операторов между собой и со всеми операторами алгебры, порождаемой канонич. переменными. На важность А. к. впервые указал Н. Н. Боголюбов в своей работе о слабо неидеальном бозе-газе (см. [1]). Пусть дана система одинаковых частиц, подчиняющихся Бозе-Эйнштейна статистике и занимающих пространственную область $\Lambda$ объема $|\Lambda|$. В представлении вторичного квантования обозначим через $b_{p}^{+}, b_{p}$ операторы рождения и гибели частицы в состоянии с импульсом р. Н. Н. Боголюбов заметил, что операторы $|\Lambda|^{-1 / 2} b_{0},|\Lambda|^{-1 / 2} b_{0}^{+}$ коммутируют со всеми операторами $b_{p}, b_{p}^{+}, p \neq 0$, и асимптотически коммутируют между собой при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Поэтому он предположил, что если в термодинамич. пределе плотность бозе-конденсата $n_{0}$ отлична от нуля, то эти операторы будут вести себя в нек-ром смысле как классич. величины (с-числа) $n_{0}^{1 / 2} e^{i \alpha}, n_{0}^{1 / 2} e^{-i \alpha}$ соответственно. Ввиду градиентной инвариантности первого рода действительный фазовый угол $\alpha$ здесь произволен. Это представление позволило вывести эффективный гамильтониан, описывающий слабовозбужденные состояния системы как идеальный бозе-газ квазичастиц. Аналогично, в своей работе [2] о модельном гамильтониане в теории сверхпроводимости (см. БКШ-модель) Н. Н. Боголюбов заметил, что при определенных условиях, как с-числа себя ведут операторы \[ L=|\Lambda|^{-1} \sum_{f} \lambda(f) a_{-f} a_{f} \] и \[ L^{+}=|\Lambda|^{-1} \sum_{f} \lambda(f) a_{f}^{+} a_{-f}^{+}, \] где $a_{f}^{+}, a_{f}$ - операторы рождения и гибели электрона в состоянии $f=(p, \sigma), p$ - вектор квазиимпульса, $\sigma= \pm 1 / 2-$ проекция спина, а $\lambda(f)=-\lambda(-f)-$ действительная кусочно непрерывная и равномерно ограниченная функция такая, что \[ |\Lambda|^{-1} \sum_{f}|\lambda(f)| \leqslant \text { const } \] при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Поэтому в модельном гамильтониане можно пренебречь членом вида \[ -\frac{1}{2}|\Lambda|\left(L^{+}-C^{*}\right)(L-C) \] к-рый при подходящем выборе параметра $C \in \mathbb{C}$ дает асимптотически исчезающий вклад в термодинамику системы. Это позволило построить аппроксимирующий гамильтониан, к-рый допускает строгое и точное решение. В 1962 Р. Хааг [3] исследовал математич. структуру модели БКШ-Боголюбова в термодинамич. пределе с точки зрения А.к. нек-рых операторов с операторами алгебры $R$, определенной как кольцо Неймана, порожденное всеми операторами вида \[ \Psi_{\sigma}(f)=\int \Psi_{\sigma}(x) f(x) d x, \quad \Psi_{\sigma}^{+}(f)=\int \Psi_{\sigma}^{+}(x) f(x) d x, \] где $x \in \mathbb{R}^{3}, f(x)$ - произвольная квадратично интегрируемая функция, $\psi_{\sigma}^{+}(x), \psi_{\sigma}(x)$ - локальные операторы Ферми рождения и гибели, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям \[ \begin{gathered} \Psi_{\sigma}(x) \psi_{\sigma^{\prime}}\left(x^{\prime}\right)+\psi_{\sigma^{\prime}}\left(x^{\prime}\right) \psi_{\sigma}(x)=0, \\ \psi_{\sigma}(x) \psi_{\sigma^{\prime}}^{+}\left(x^{\prime}\right)+\psi_{\sigma^{\prime}}^{+}\left(x^{\prime}\right) \psi_{\sigma}(x)=\delta_{\sigma \sigma^{\prime}} \delta\left(x-x^{\prime}\right) . \end{gathered} \] Лемма. Если «квазилокальная» величина $Q(x)$ содержит четное число операторов Ферми, то пространственное среднее \[ \bar{Q}=\lim _{|\Lambda| \rightarrow \infty}|\Lambda|^{-1} \int_{\Lambda} Q(x) d x \] коммутирует со всеми операторами алгебры $R$. Квазилокальные величины, по Хаагу, имеют вид \[ \begin{gathered} Q(x)=\int F\left(z_{1}, \ldots, z_{n} ; z_{1}^{\prime}, \ldots, z_{m}^{\prime}\right) \psi_{\sigma_{1}}^{+}\left(x+z_{1}\right) \ldots \\ \ldots \psi_{\sigma_{n}}^{+}\left(x+z_{n}\right) \psi_{\sigma_{1}^{\prime}}\left(x+z_{1}^{\prime}\right) \ldots \psi_{\sigma_{m}^{\prime}}\left(x+z_{m}^{\prime}\right) d z_{1} \ldots d z_{m}^{\prime}, \end{gathered} \] где $F\left(z, z^{\prime}\right)$ - быстро убывающая по каждому из аргументов функция. Для системы с бесконечным числом степеней свободы вырождение основного состояния означает, что гамильтониан допускает неэквивалентные приводимые представления основной алгебры, порождаемой канонич. переменными. В этом случае из А. к. нек-рых операторов со всей алгеброй не следует, что в термодинамич. пределе они переходят в $c$-числа.

свойство операторов, коммутатор которых обращается в нуль в термодинамическом пределе. В методе аппроксимирующего гамильтониана представляет интерес А. к. нек-рых операторов между собой и со всеми операторами алгебры, порождаемой канонич. переменными. На важность А. к. впервые указал Н. Н. Боголюбов в своей работе о слабо неидеальном бозе-газе (см. [1]). Пусть дана система одинаковых частиц, подчиняющихся Бозе-Эйнштейна статистике и занимающих пространственную область $\Lambda$ объема $|\Lambda|$. В представлении вторичного квантования обозначим через $b_{p}^{+}, b_{p}$ операторы рождения и гибели частицы в состоянии с импульсом р. Н. Н. Боголюбов заметил, что операторы $|\Lambda|^{-1 / 2} b_{0},|\Lambda|^{-1 / 2} b_{0}^{+}$ коммутируют со всеми операторами $b_{p}, b_{p}^{+}, p \neq 0$, и асимптотически коммутируют между собой при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Поэтому он предположил, что если в термодинамич. пределе плотность бозе-конденсата $n_{0}$ отлична от нуля, то эти операторы будут вести себя в нек-ром смысле как классич. величины (с-числа) $n_{0}^{1 / 2} e^{i \alpha}, n_{0}^{1 / 2} e^{-i \alpha}$ соответственно. Ввиду градиентной инвариантности первого рода действительный фазовый угол $\alpha$ здесь произволен. Это представление позволило вывести эффективный гамильтониан, описывающий слабовозбужденные состояния системы как идеальный бозе-газ квазичастиц. Аналогично, в своей работе [2] о модельном гамильтониане в теории сверхпроводимости (см. БКШ-модель) Н. Н. Боголюбов заметил, что при определенных условиях, как с-числа себя ведут операторы \[ L=|\Lambda|^{-1} \sum_{f} \lambda(f) a_{-f} a_{f} \] и \[ L^{+}=|\Lambda|^{-1} \sum_{f} \lambda(f) a_{f}^{+} a_{-f}^{+}, \] где $a_{f}^{+}, a_{f}$ - операторы рождения и гибели электрона в состоянии $f=(p, \sigma), p$ - вектор квазиимпульса, $\sigma= \pm 1 / 2-$ проекция спина, а $\lambda(f)=-\lambda(-f)-$ действительная кусочно непрерывная и равномерно ограниченная функция такая, что \[ |\Lambda|^{-1} \sum_{f}|\lambda(f)| \leqslant \text { const } \] при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Поэтому в модельном гамильтониане можно пренебречь членом вида \[ -\frac{1}{2}|\Lambda|\left(L^{+}-C^{*}\right)(L-C) \] к-рый при подходящем выборе параметра $C \in \mathbb{C}$ дает асимптотически исчезающий вклад в термодинамику системы. Это позволило построить аппроксимирующий гамильтониан, к-рый допускает строгое и точное решение. В 1962 Р. Хааг [3] исследовал математич. структуру модели БКШ-Боголюбова в термодинамич. пределе с точки зрения А.к. нек-рых операторов с операторами алгебры $R$, определенной как кольцо Неймана, порожденное всеми операторами вида \[ \Psi_{\sigma}(f)=\int \Psi_{\sigma}(x) f(x) d x, \quad \Psi_{\sigma}^{+}(f)=\int \Psi_{\sigma}^{+}(x) f(x) d x, \] где $x \in \mathbb{R}^{3}, f(x)$ - произвольная квадратично интегрируемая функция, $\psi_{\sigma}^{+}(x), \psi_{\sigma}(x)$ - локальные операторы Ферми рождения и гибели, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям \[ \begin{gathered} \Psi_{\sigma}(x) \psi_{\sigma^{\prime}}\left(x^{\prime}\right)+\psi_{\sigma^{\prime}}\left(x^{\prime}\right) \psi_{\sigma}(x)=0, \\ \psi_{\sigma}(x) \psi_{\sigma^{\prime}}^{+}\left(x^{\prime}\right)+\psi_{\sigma^{\prime}}^{+}\left(x^{\prime}\right) \psi_{\sigma}(x)=\delta_{\sigma \sigma^{\prime}} \delta\left(x-x^{\prime}\right) . \end{gathered} \] Лемма. Если «квазилокальная» величина $Q(x)$ содержит четное число операторов Ферми, то пространственное среднее \[ \bar{Q}=\lim _{|\Lambda| \rightarrow \infty}|\Lambda|^{-1} \int_{\Lambda} Q(x) d x \] коммутирует со всеми операторами алгебры $R$. Квазилокальные величины, по Хаагу, имеют вид \[ \begin{gathered} Q(x)=\int F\left(z_{1}, \ldots, z_{n} ; z_{1}^{\prime}, \ldots, z_{m}^{\prime}\right) \psi_{\sigma_{1}}^{+}\left(x+z_{1}\right) \ldots \\ \ldots \psi_{\sigma_{n}}^{+}\left(x+z_{n}\right) \psi_{\sigma_{1}^{\prime}}\left(x+z_{1}^{\prime}\right) \ldots \psi_{\sigma_{m}^{\prime}}\left(x+z_{m}^{\prime}\right) d z_{1} \ldots d z_{m}^{\prime}, \end{gathered} \] где $F\left(z, z^{\prime}\right)$ - быстро убывающая по каждому из аргументов функция. Для системы с бесконечным числом степеней свободы вырождение основного состояния означает, что гамильтониан допускает неэквивалентные приводимые представления основной алгебры, порождаемой канонич. переменными. В этом случае из А. к. нек-рых операторов со всей алгеброй не следует, что в термодинамич. пределе они переходят в $c$-числа.