КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Преобразование \[ q \rightarrow Q(p, q), p \rightarrow P(p, q) \] (обобщенных) координат и (обобщенных) импульсов, сохраняющие Пуассона скобки: \[ \begin{gathered} \left\{P_{i}, Q_{j}\right\} \equiv \sum_{k}\left(\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial Q_{j}}{\partial p_{k}}\right)=\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \\ \left\{P_{i}, P_{j}\right\}=\left\{Q_{i}, Q_{j}\right\}=0, \end{gathered} \] $k=1, \ldots, n, n-$ число степеней свободы системы, $\delta_{i j}-$ символ Кронекера. К. п. сохраняют канонич. вид Гамильтона уравнений и нормировку Гамильтона функции $H(p, q, t)$. При К. П. фигурирующее в вариационном наименьшего действия принципе выражение \[ \sum_{k} p_{k} d q_{k}-H d t \] может меняться лишь на полный дифференциал: \[ \sum_{k} p_{k} d q_{k}-H d t=\sum_{k} P_{k} d Q_{k}-H^{\prime} d t+d F . \] Здесь $F$ - производящая функция К. п. Если она зависит от старых и новых координат, $F(q, Q)$, то явный вид К. п. находится из соотношений \[ p_{i}=\partial F / \partial q, P_{i}=\partial F / \partial Q_{i}, \] а новая функция Гамильтона \[ H^{\prime}(P, Q, t)=H(p, q, t)+\partial F / \partial t . \] Остальные возможности (всего их $2^{2 n}$ ), когда $F$ зависит от $i$ старых координат, $n-i$ старых импульсов, $j$ новых координат и $n-j$ новых импульсов, получаются из данной Лежандра преобразованием. К. П. сохраняют интеграл \[ \oint \sum_{k} p_{k} d q_{k} \] по замкнутой кривой в фазовом пространстве и элемент фазового объема \[ \prod_{k} d p_{k} d q_{k} \] Последнее обстоятельство используется при заменах переменных в функциональном интеграле. Для $F$, не зависящих явно от времени, сохраняется и функция Гамильтона. Для тождественного К. П. \[ F=\sum_{k} P_{k} q_{k} \] Бесконечно малые К. п. с \[ F=\sum_{k} P_{k} q_{k}-\varepsilon f\left(P_{k}, q_{k} ; \varepsilon\right) \] удовлетворяют уравнениям Гамильтона \[ \partial P_{i} / \partial \varepsilon=-\partial h / \partial q_{i}, \partial Q_{i} / \partial \varepsilon=\partial h / \partial p_{j} \] с функцией Гамильтона $h=f(P, q ; 0)$. Поэтому движение системы (параметр $\varepsilon$ интерпретируется как время $t$ ) само есть К. П. Преобразования симметрии, сохраняющие действие \[ S=\int_{t_{2}}^{t_{1}}\left(\sum_{k} p_{k} d q_{k}-H d t\right) \] очевидным образом являются К. п. Благодаря свойствам К. П. равноправны все выборы канонич. переменных классич. системы: в ее фазовом пространстве можно взять любую систему координат, связанную К. п. с декартовой, в К-рой $q, p$ - обычные координаты и импульсы. В квантовой механике такого равноправия нет. Постулат канонич. квантования, заменяющий скобки Пуассона $\left\{p_{i}, q_{l}\right\}=\delta_{i j}$ канонич. перестановочными соотношениями $\left[p_{i}, q_{j}\right]=-i \hbar \delta_{i j}$, формулируется для декартовой системы координат. Конкретный выбор гильбертова пространства $\mathscr{\mathcal { ~ }}$ векторов состояний системы и реализация $\hat{p}, \hat{q}$ как самосопряженных (эрмитовых) операторов в этом пространстве (их общая область определения должна быть плотной в $\mathscr{t}$ ) называется представлением. К. П. в квантовой механике называются преобразования представлений, сохраняющие канонич. перестановочные соотношения. Для систем с конечным числом степеней свободы все представления канонич. перестановочных соотношений унитарно эквивалентны (теорема Неймана): для любых двух представлений операторов $\hat{\alpha}, \hat{\alpha}^{\prime}$ и векторов состояний $\psi, \psi^{\prime}$ существует унитарный оператор $U$ такой, что $\hat{\alpha}^{\prime}=U \hat{\alpha} U^{+}$, $\psi^{\prime}=U \psi$ (знак + означает эрмитово сопряжение). Таким образом, К. п. конечномерных квантовых систем всегда могут быть реализованы как унитарные преобразования, и поэтому они сохраняют спектры операторов, средние значения и другие динамич. характеристики. Напр., переход от шредингерова к гейзенбергову описанию эволюции системы (см. Шредингера представление, Гейзенберга представление ) является унитарным преобразованием, зависящим от времени, с $U\left(t, t_{0}\right)=\exp \left\{-i \hat{H}\left(t-t_{0}\right)\right\}$, где $\hat{H}-$ оператор Гамильтона (гамильтониан). Для бесконечномерных квантовых систем теорема Неймана неверна: существуют К. П., не сводящиеся к унитарным, и соответственно неэквивалентные представления канонич. перестановочных соотношений. Такие К. п. могут менять спектры операторов и в этом случае дают математич. описание многих важных физич. эффектов. К. П. является стандартным приемом нахождения спектра элементарных возбуждений (квазичастиц) в статистич. физике. Примером такого К. П. служат Боголюбова канонические преобразования, с помощью к-рых находятся эти спектры для слабонеидеальных бозе- и ферми-систем. См. также Канонических преобразований группа; проективное представление, Каноническое преобразование; нормальная форма.

Преобразование \[ q \rightarrow Q(p, q), p \rightarrow P(p, q) \] (обобщенных) координат и (обобщенных) импульсов, сохраняющие Пуассона скобки: \[ \begin{gathered} \left\{P_{i}, Q_{j}\right\} \equiv \sum_{k}\left(\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial Q_{j}}{\partial p_{k}}\right)=\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \\ \left\{P_{i}, P_{j}\right\}=\left\{Q_{i}, Q_{j}\right\}=0, \end{gathered} \] $k=1, \ldots, n, n-$ число степеней свободы системы, $\delta_{i j}-$ символ Кронекера. К. п. сохраняют канонич. вид Гамильтона уравнений и нормировку Гамильтона функции $H(p, q, t)$. При К. П. фигурирующее в вариационном наименьшего действия принципе выражение \[ \sum_{k} p_{k} d q_{k}-H d t \] может меняться лишь на полный дифференциал: \[ \sum_{k} p_{k} d q_{k}-H d t=\sum_{k} P_{k} d Q_{k}-H^{\prime} d t+d F . \] Здесь $F$ - производящая функция К. п. Если она зависит от старых и новых координат, $F(q, Q)$, то явный вид К. п. находится из соотношений \[ p_{i}=\partial F / \partial q, P_{i}=\partial F / \partial Q_{i}, \] а новая функция Гамильтона \[ H^{\prime}(P, Q, t)=H(p, q, t)+\partial F / \partial t . \] Остальные возможности (всего их $2^{2 n}$ ), когда $F$ зависит от $i$ старых координат, $n-i$ старых импульсов, $j$ новых координат и $n-j$ новых импульсов, получаются из данной Лежандра преобразованием. К. П. сохраняют интеграл \[ \oint \sum_{k} p_{k} d q_{k} \] по замкнутой кривой в фазовом пространстве и элемент фазового объема \[ \prod_{k} d p_{k} d q_{k} \] Последнее обстоятельство используется при заменах переменных в функциональном интеграле. Для $F$, не зависящих явно от времени, сохраняется и функция Гамильтона. Для тождественного К. П. \[ F=\sum_{k} P_{k} q_{k} \] Бесконечно малые К. п. с \[ F=\sum_{k} P_{k} q_{k}-\varepsilon f\left(P_{k}, q_{k} ; \varepsilon\right) \] удовлетворяют уравнениям Гамильтона \[ \partial P_{i} / \partial \varepsilon=-\partial h / \partial q_{i}, \partial Q_{i} / \partial \varepsilon=\partial h / \partial p_{j} \] с функцией Гамильтона $h=f(P, q ; 0)$. Поэтому движение системы (параметр $\varepsilon$ интерпретируется как время $t$ ) само есть К. П. Преобразования симметрии, сохраняющие действие \[ S=\int_{t_{2}}^{t_{1}}\left(\sum_{k} p_{k} d q_{k}-H d t\right) \] очевидным образом являются К. п. Благодаря свойствам К. П. равноправны все выборы канонич. переменных классич. системы: в ее фазовом пространстве можно взять любую систему координат, связанную К. п. с декартовой, в К-рой $q, p$ - обычные координаты и импульсы. В квантовой механике такого равноправия нет. Постулат канонич. квантования, заменяющий скобки Пуассона $\left\{p_{i}, q_{l}\right\}=\delta_{i j}$ канонич. перестановочными соотношениями $\left[p_{i}, q_{j}\right]=-i \hbar \delta_{i j}$, формулируется для декартовой системы координат. Конкретный выбор гильбертова пространства $\mathscr{\mathcal { ~ }}$ векторов состояний системы и реализация $\hat{p}, \hat{q}$ как самосопряженных (эрмитовых) операторов в этом пространстве (их общая область определения должна быть плотной в $\mathscr{t}$ ) называется представлением. К. П. в квантовой механике называются преобразования представлений, сохраняющие канонич. перестановочные соотношения. Для систем с конечным числом степеней свободы все представления канонич. перестановочных соотношений унитарно эквивалентны (теорема Неймана): для любых двух представлений операторов $\hat{\alpha}, \hat{\alpha}^{\prime}$ и векторов состояний $\psi, \psi^{\prime}$ существует унитарный оператор $U$ такой, что $\hat{\alpha}^{\prime}=U \hat{\alpha} U^{+}$, $\psi^{\prime}=U \psi$ (знак + означает эрмитово сопряжение). Таким образом, К. п. конечномерных квантовых систем всегда могут быть реализованы как унитарные преобразования, и поэтому они сохраняют спектры операторов, средние значения и другие динамич. характеристики. Напр., переход от шредингерова к гейзенбергову описанию эволюции системы (см. Шредингера представление, Гейзенберга представление ) является унитарным преобразованием, зависящим от времени, с $U\left(t, t_{0}\right)=\exp \left\{-i \hat{H}\left(t-t_{0}\right)\right\}$, где $\hat{H}-$ оператор Гамильтона (гамильтониан). Для бесконечномерных квантовых систем теорема Неймана неверна: существуют К. П., не сводящиеся к унитарным, и соответственно неэквивалентные представления канонич. перестановочных соотношений. Такие К. п. могут менять спектры операторов и в этом случае дают математич. описание многих важных физич. эффектов. К. П. является стандартным приемом нахождения спектра элементарных возбуждений (квазичастиц) в статистич. физике. Примером такого К. П. служат Боголюбова канонические преобразования, с помощью к-рых находятся эти спектры для слабонеидеальных бозе- и ферми-систем. См. также Канонических преобразований группа; проективное представление, Каноническое преобразование; нормальная форма.