КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ; НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

простейший вид, к которому можно привести каноническое преобразование в окрестности неподвижной точки с помощью канонической замены координат. Теорема. Пусть в окрестности точки $O \in \mathbb{R}^{2 n}$ задано $C^{\infty}$-гладкое канонич. преобразование $G$, причем $G(O)=0$ и все собственные числа $\exp \left( \pm i \omega_{k}\right)$ линеаризации отображения $G$ в $O$ лежат на единичной окружности и нерезонансны, то есть $\exp \left(i\left(m_{1} \omega_{1}+\ldots+m_{n} \omega_{n}\right)\right) \neq 1$ для любого набора целых чисел $m_{1}, \ldots, m_{n}$, не все из к-рых равны 0. Тогда для всякого натурального $N$ в $\mathbb{R}^{2 n}$ существует система канонически сопряженных координат $p, q$ с центром в $O$, в к-рой преобразование $G$ представимо как $F+R$, где $F$ имеет вид: \[ F:(\tau, \varphi) \mapsto(\tau, \varphi+\partial S / \partial \tau), \] а остаточный член \[ R=O\left(|p|^{N}+|q|^{N}\right) \] Здесь $S=S(\tau)$, а канонически сопряженные полярные координаты $\tau, \varphi$ определяются из соотношений \[ p_{k}=\sqrt{2 \tau_{k}} \cos \varphi_{k}, \quad q_{k}=\sqrt{2 \tau_{k}} \sin \varphi_{k} . \] Отображение $F$ называется нормальной формой Биркгофа. Лит.: [1] Birkhoff G. D., «Acta math.», 1922, t. 43, p. 1-119. М. Б. Севрюк.

простейший вид, к которому можно привести каноническое преобразование в окрестности неподвижной точки с помощью канонической замены координат. Теорема. Пусть в окрестности точки $O \in \mathbb{R}^{2 n}$ задано $C^{\infty}$-гладкое канонич. преобразование $G$, причем $G(O)=0$ и все собственные числа $\exp \left( \pm i \omega_{k}\right)$ линеаризации отображения $G$ в $O$ лежат на единичной окружности и нерезонансны, то есть $\exp \left(i\left(m_{1} \omega_{1}+\ldots+m_{n} \omega_{n}\right)\right) \neq 1$ для любого набора целых чисел $m_{1}, \ldots, m_{n}$, не все из к-рых равны 0. Тогда для всякого натурального $N$ в $\mathbb{R}^{2 n}$ существует система канонически сопряженных координат $p, q$ с центром в $O$, в к-рой преобразование $G$ представимо как $F+R$, где $F$ имеет вид: \[ F:(\tau, \varphi) \mapsto(\tau, \varphi+\partial S / \partial \tau), \] а остаточный член \[ R=O\left(|p|^{N}+|q|^{N}\right) \] Здесь $S=S(\tau)$, а канонически сопряженные полярные координаты $\tau, \varphi$ определяются из соотношений \[ p_{k}=\sqrt{2 \tau_{k}} \cos \varphi_{k}, \quad q_{k}=\sqrt{2 \tau_{k}} \sin \varphi_{k} . \] Отображение $F$ называется нормальной формой Биркгофа. Лит.: [1] Birkhoff G. D., «Acta math.», 1922, t. 43, p. 1-119. М. Б. Севрюк.