КАСАТЕЛЬНЫЙ ВЕКТОР В ТОЧКЕ $p$ МНОГООБРАЗИЯ $M$

линейный функционал (оператор), который каждой дифференцируемой функции $f$ на $M$ ставит в соответствие вектор $v(f)$ и удовлетворяет аксиомам: \[ \begin{gathered} v(f+h)=v(f)+v(h) \\ v(c f)=c v(f), c=\mathrm{const} \\ v(f h)=f v(h)+h v(f) . \end{gathered} \] Это определение не зависит от выбора локальных координат. К. в. представляет собой производную по направлению вдоль кривой $\gamma(t)$, проходящей через точку $p$. Из разложения любой функции в точке $p$ в ряд Тейлора следует, что любой К. в. $\boldsymbol{v}$ в $p$ можно записать в виде \[ \boldsymbol{v}=v^{i} \partial / \partial x^{i} \] Действительные коэффициенты $v^{i}$ являются (контравариантными) компонентами К. в. в точке $p$ по отношению к локальной системе координат $x^{1}, \ldots, x^{n}$ в окрестности $p$. Совокупность К. в. к многообразию в точке $p$ называется касательным пространством $T_{p}$ к $M$ в этой точке, а многообразие $T M$, состоящее из всех касательных пространств, называется касательным расслоением многообразия $M$. Сечения этого расслоения - векторные поля на $M$, другими словами, можно построить векторное поле $v(p)$ на $M$, ставя в соответствие каждой точке $p \in M$ К. в. $v \in T_{p}$ так, чтобы компоненты $v^{i}$ являлись дифференцируемыми функциями локальных координат. М. И. Войцеховский.

линейный функционал (оператор), который каждой дифференцируемой функции $f$ на $M$ ставит в соответствие вектор $v(f)$ и удовлетворяет аксиомам: \[ \begin{gathered} v(f+h)=v(f)+v(h) \\ v(c f)=c v(f), c=\mathrm{const} \\ v(f h)=f v(h)+h v(f) . \end{gathered} \] Это определение не зависит от выбора локальных координат. К. в. представляет собой производную по направлению вдоль кривой $\gamma(t)$, проходящей через точку $p$. Из разложения любой функции в точке $p$ в ряд Тейлора следует, что любой К. в. $\boldsymbol{v}$ в $p$ можно записать в виде \[ \boldsymbol{v}=v^{i} \partial / \partial x^{i} \] Действительные коэффициенты $v^{i}$ являются (контравариантными) компонентами К. в. в точке $p$ по отношению к локальной системе координат $x^{1}, \ldots, x^{n}$ в окрестности $p$. Совокупность К. в. к многообразию в точке $p$ называется касательным пространством $T_{p}$ к $M$ в этой точке, а многообразие $T M$, состоящее из всех касательных пространств, называется касательным расслоением многообразия $M$. Сечения этого расслоения - векторные поля на $M$, другими словами, можно построить векторное поле $v(p)$ на $M$, ставя в соответствие каждой точке $p \in M$ К. в. $v \in T_{p}$ так, чтобы компоненты $v^{i}$ являлись дифференцируемыми функциями локальных координат. М. И. Войцеховский.