КВАНТОВАЯ ГРУППА

по существу, то же, что Хопфа алгебра. Группе $G$ соответствует алгебра Хопфа $A$, состоящая из функций на $G$, где умножение поточечное, а коумножение $\Delta: A \rightarrow A \otimes A$ переводит $f \in A$ в функцию $\varphi$ на $G \times G$ : \[ \varphi(g, h)=f(g h) \] (функции на $G \times G$ принадлежат $A \otimes A$). Так получается биекция между обычными группами и коммутативными алгебрами Хопфа. Произвольную (не обязательно коммутативную) алгебру Хопфа $A$ естественно рассматривать как алгебру функций на К. г. Напр., алгебру $A$ с образующими $t_{i j}, 1 \leqslant i, j \leqslant 2$, соотношениями \[ \begin{gathered} {\left[t_{12}, t_{21}\right]=0,} \\ {\left[t_{11}, t_{22}\right]=\left(e^{h}-e^{-h}\right) t_{12} t_{21}, t_{i 1}, t_{i 2}=e^{h} t_{i 2} t_{i 1},} \\ t_{1 j} t_{2 j}=e^{h} t_{2 j} t_{1 j}, t_{11} t_{22}-e^{h} t_{12} t_{21}=1, \end{gathered} \] где $h$ - постоянная Планка, и коумножением \[ \Delta\left(t_{i j}\right)=t_{i 1} \otimes t_{1 j}+t_{i 2} \otimes t_{2 j} \] можно рассматривать как алгебру функций на квантованной группе $S L(2)$. К. г. (в частности, квантовые аналоги группы функций одного переменного со значениями в простой группе Ли) естественным образом возникают в квантовом методе обратной задачи. См. также Кольцевая группа.

по существу, то же, что Хопфа алгебра. Группе $G$ соответствует алгебра Хопфа $A$, состоящая из функций на $G$, где умножение поточечное, а коумножение $\Delta: A \rightarrow A \otimes A$ переводит $f \in A$ в функцию $\varphi$ на $G \times G$ : \[ \varphi(g, h)=f(g h) \] (функции на $G \times G$ принадлежат $A \otimes A$). Так получается биекция между обычными группами и коммутативными алгебрами Хопфа. Произвольную (не обязательно коммутативную) алгебру Хопфа $A$ естественно рассматривать как алгебру функций на К. г. Напр., алгебру $A$ с образующими $t_{i j}, 1 \leqslant i, j \leqslant 2$, соотношениями \[ \begin{gathered} {\left[t_{12}, t_{21}\right]=0,} \\ {\left[t_{11}, t_{22}\right]=\left(e^{h}-e^{-h}\right) t_{12} t_{21}, t_{i 1}, t_{i 2}=e^{h} t_{i 2} t_{i 1},} \\ t_{1 j} t_{2 j}=e^{h} t_{2 j} t_{1 j}, t_{11} t_{22}-e^{h} t_{12} t_{21}=1, \end{gathered} \] где $h$ - постоянная Планка, и коумножением \[ \Delta\left(t_{i j}\right)=t_{i 1} \otimes t_{1 j}+t_{i 2} \otimes t_{2 j} \] можно рассматривать как алгебру функций на квантованной группе $S L(2)$. К. г. (в частности, квантовые аналоги группы функций одного переменного со значениями в простой группе Ли) естественным образом возникают в квантовом методе обратной задачи. См. также Кольцевая группа.