КВАНТОВАЯ ЛОГИКА

множество высказываний о всевозможных событиях в физической системе, составляющих ее микроскопическое описание (см. [1]). В отличие от классич. логики, подчиняющейся законам булевой алгебры, высказывания К. л. образуют (см. [2]) более общую ортомодулярную структуру (решетку) относительно логич. порядка « $a$ влечет $b »$, обозначаемого $a \leqslant b$, и инволютивной операции отрицания $a \mapsto \bar{a}, \overline{\bar{a}}=a$, обращающей этот порядок: $a \leqslant b \Rightarrow \bar{b} \leqslant \bar{a}$. Конъюнкция $\wedge$ и дизъюнкция $\vee$, определяемые как точные грани $a \wedge b=\inf \{a, b\}, a \vee b=\sup \{a, b\}$, с нулем $\mathbb{O}=a \wedge \bar{a}-$ наименьшим элементом и единицей $1=a \vee \bar{a}-$ наибольшим элементом, обладают свойствами идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, совместимости и двойственности, образующими аксиомы булевой алгебры за исключением аксиомы дистрибутивности. Конкретным примером недистрибутивной К. Л. является множество подпространств гильбертова пространства $H$, или множество $P(H)$ соответствующих им ортопроекторов в $H$ с естественным порядком $a \leqslant b \Leftrightarrow a b=a$, ортодополнением $\bar{a}=a^{\perp}$ в качестве операции отрицания и нулевым и единичным ортопроекторами в качестве элементов 0 и 1. Вместо условия дистрибутивности в такой К. л. выполняется более слабое свойство ортомодулярности $a \vee(b \wedge c)=$ $=(a \vee b) \wedge c$, если $a \leqslant \bar{b} \leqslant c$. Связь между логич. и алгебраич. подходами к квантовой теории устанавливается в теории *-полуколец (см. [3]), *-идемпотенты к-рых образуют квантовую полулогику.

множество высказываний о всевозможных событиях в физической системе, составляющих ее микроскопическое описание (см. [1]). В отличие от классич. логики, подчиняющейся законам булевой алгебры, высказывания К. л. образуют (см. [2]) более общую ортомодулярную структуру (решетку) относительно логич. порядка « $a$ влечет $b »$, обозначаемого $a \leqslant b$, и инволютивной операции отрицания $a \mapsto \bar{a}, \overline{\bar{a}}=a$, обращающей этот порядок: $a \leqslant b \Rightarrow \bar{b} \leqslant \bar{a}$. Конъюнкция $\wedge$ и дизъюнкция $\vee$, определяемые как точные грани $a \wedge b=\inf \{a, b\}, a \vee b=\sup \{a, b\}$, с нулем $\mathbb{O}=a \wedge \bar{a}-$ наименьшим элементом и единицей $1=a \vee \bar{a}-$ наибольшим элементом, обладают свойствами идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, совместимости и двойственности, образующими аксиомы булевой алгебры за исключением аксиомы дистрибутивности. Конкретным примером недистрибутивной К. Л. является множество подпространств гильбертова пространства $H$, или множество $P(H)$ соответствующих им ортопроекторов в $H$ с естественным порядком $a \leqslant b \Leftrightarrow a b=a$, ортодополнением $\bar{a}=a^{\perp}$ в качестве операции отрицания и нулевым и единичным ортопроекторами в качестве элементов 0 и 1. Вместо условия дистрибутивности в такой К. л. выполняется более слабое свойство ортомодулярности $a \vee(b \wedge c)=$ $=(a \vee b) \wedge c$, если $a \leqslant \bar{b} \leqslant c$. Связь между логич. и алгебраич. подходами к квантовой теории устанавливается в теории *-полуколец (см. [3]), *-идемпотенты к-рых образуют квантовую полулогику.