КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ

совокупность теоретических методов, применяемых для описания квантовомеханических систем, состоящих более чем из двух частиц. Поскольку Шредингера уравнение для таких систем не может быть решено точно, речь идет о приближенных методах. Уравнение Шредингера при решении квантовомеханич. задач в системах многих частиц обычно используется в представлении вторичного квантования. Координатное и импульсное представления в этом случае менее удобны, поскольку число измерений пространства, в к-ром пишется это уравнение, растет с увеличением числа частиц. Следует различать методы, применяемые для описания систем из конечного числа частиц, и методы описания макроскопич. тел. В первом случае типичной является постановка задачи о нахождении волновых функций и уровней энергии системы. Во втором случае подразумевается переход к термодинамич. пределу, когда объем тела и число частиц в нем формально устремляются к бесконечности с сохранением конечной плотности числа частиц. Типичной постановкой задачи в этом случае является определение энергии основного состояния системы и распределения частиц по импульсам, нахождение спектра элементарных возбуждений (квазичастиц) и кинетич. коэффициентов системы. Основой ряда методов теории многих частиц является возмущений теория, применяемая в случаях, когда потенциальная энергия взаимодействия между частицами достаточно мала. Для двух частиц, взаимодействующих посредством потенциала с конечным радиусом действия, условие этой малости состоит в малости амплитуды рассеяния по сравнению с радиусом действия. Для частиц, взаимодействующих по закону Кулона, оно сводится к требованию малости потенциальной энергии по сравнению с кинетической на расстоянии порядка длины волны. Формальное применение теории возмущений приводит к выражениям для характеризующих систему величин в виде ряда по целым степеням потенциальной энергии. В нек-рых случаях члены этого формального ряда оказываются бесконечными - содержащими расходящиеся интегралы, что обычно свидетельствует об ошибочности предположения о разложимости по целым степеням потенциала, даже при условии применимости теории возмущений для взаимодействия двух частиц. В этом случае для получения конечного результата приходится суммировать бесконечные последовательности наиболее расходящихся членов ряда. Характерным примером является вычисление термодинамич. функций системы заряженных частиц, где для получения конечного результата необходимо учитывать экранировку потенциала каждой из частиц остальными частицами. Другой пример - вычисление энергии основного состояния слабонеидеального бозе-газа, в к-ром отличное от нуля значение энергии возникает только при учете взаимодействия. В обоих случаях разложение термодинамич. функций системы содержит дробные степени потенциала взаимодействия. Своеобразна ситуация в сверхпроводниках, где термодинамич. функции электронного газа содержат экспоненциально малые по потенциалу взаимодействия члены. Эти члены исчезают в любом порядке теории возмущений, однако именно с ними связан сверхпроводящий фазовый переход. Наиболее совершенной формой теории возмущений является диаграммная техника. Она применяется чаще всего для вычисления функции Грина системы, полюсы к-рой определяют энергии квазичастиц, а интеграл от к-рой по частотам - распределение частиц системы по импульсам. Каждый член ряда теории возмущений изображается в диаграммной технике в виде совокупности нескольких диаграмм Фейнмана, для аналитич. записи к-рых существуют стандартные правила. Диаграммная техника оказывается особенно эффективной для упомянутого выше суммирования наиболее расходящихся членов ряда теории возмущений. Различные диаграммы в одном и том же порядке теории возмущений имеют различный физич. смысл и могут обладать разной степенью расходимости. Суммирование расходимостей в этом случае сводится к имеющему наглядный физич. смысл выделению определенных графич. последовательностей диаграмм. Важное преимущество диаграммной техники - возможность корректной оценки отброшенных членов и тем самым определения условий применимости сделанных приближений. Существуют нек-рые возможности вычисления функций Грина без применения теории возмущений. В теории имеются точные соотношения, выражающие функции Грина более низкого порядка через функции более высокого порядка (одночастичную через двухчастичную и т. д.). Если на основании тех или иных физич. соображений удается выразить многочастичные функции через одночастичные - произвести «расцепление», то для одночастичной функции получается замкнутое уравнение, допускающее непосредственное решение. При таком подходе метод функций Грина близок к методу цепочек квантовых функций распределения. Большие возможности открывает запись функций Грина в виде бесконечнократного функционального интеграла. Для приближенного вычисления последнего существуют методы, принципиально отличные от теории возмущений, напр. перевала метод. Если условие применимости теории возмущений для взаимодействия пар частиц не выполняется, но система является настолько разреженной, что амплитуда рассеяния двух частиц мала по сравнению с межчастичным расстоянием, применимо приближение вириального разложения. Характеризующие систему физич. величины получаются в виде ряда по степеням плотности числа частиц, причем последовательные члены ряда соответствуют взаимодействию пар, троек и т. д. частиц и выражаются через амплитуды парного рассеяния и амплитуды рассеяния более высоких порядков. В нек-ром смысле обратная ситуация имеет место в тяжелых атомах, где создаваемый электронами электрич. потенциал медленно меняется на расстоянии порядка длины волны электрона. Электроны в таком атоме можно рассматривать как квазиклассич. ферми-газ, находящийся во внешнем поле, определяющемся самим распределением электронов. Для этого потенциала получается замкнутое уравнение Томаса - Ферми (см. Томаса - Ферми метод). В том случае, когда при постановке многочастичной задачи не удается найти малый параметр, используя малость к-рого можно искать приближенное решение, важную роль играют вариационные методы. Эти методы основаны на том обстоятельстве, что средняя энергия системы, вычисленная для нек-рой нормированной волновой функции, будет минимальна при вычислении по истинной волновой функции основного состояния. Аналогично волновая функция первого возбужденного состояния имеет минимальную энергию среди всех функций, ортогональных к функции основного состояния, и т. д. Простейший вариант применения этого метода состоит в подборе нек-рой функции, удовлетворяющей определенным общим требованиям и зависящей от нескольких параметров. Минимизация энергии по этим параметрам может дать достаточно точные результаты, особенно в системе из небольшого числа частиц. Точность зависит при этом от удачного выбора вида «пробной» функции, близкого к виду истинной волновой функции. В применении к атомным системам хорошую точность дает метод самосогласованного поля (метод Хартри-Фока). Этот метод состоит в том, что волновая функция системы электронов записывается в виде линейной комбинации произведений функций, каждая из к-рых зависит от координат только одного электрона. Линейные комбинации подбираются таким образом, чтобы удовлетворить необходимым условиям симметрии, соответствующим, напр., определенным значениям орбитального момента атома. Для самих же одночастичных функций в результате минимизации энергии получается нелинейное уравнение типа уравнения Шредингера с потенциалом, зависящим от самих волновых функций. Можно сказать, что электрон движется в самосогласованном поле, определяемом всеми остальными электронами. В отличие от уравнения Томаса - Ферми, для этого потенциала, однако, не предполагается применимость квазиклассического приближения. Большие успехи достигнуты при исследовании электронных свойств металлов. Наибольший интерес представляет расчет энергетич. спектров электронов в зоне проводимости. Важную роль здесь играет метод псевдопотенциала. В простейшем варианте этого метода волновые функции электронов заполненных зон принимаются равными волновым функциям свободных ионов, а волновые функции электронов в зоне проводимости выбираются в виде линейной комбинации плоских волн и волновых функций заполненных оболочек так, чтобы эти комбинации были ортогональны к волновым функциям заполненных оболочек. В результате задача сводится к уравнению типа уравнения Шредингера, в к-ром, однако, вместо потенциала стоит линейная комбинация обычного самосогласованного потенциала и нек-рого связанного с упомянутой ортогонализацией выражения, зависящего от энергии состояния и волновых функций электронов в ионах. Эту сумму и называют псевдопотенциалом. Он оказывается относительно малым из-за компенсации указанных двух членов, так что уравнение можно решать по теории возмущений. Это позволяет получить весьма полную информацию о свойствах конкретных металлов. В частности, малость псевдопотенциала позволила объяснить известную эмпирически близость многих наблюдаемых свойств электронов в металлах к свойствам невзаимодействующих электронов. Лит.: [1] Гомбаш П., Проблема многих частиц в квантовой механике, пер. с нем., М., 1952; [2] Абрикосов А.А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; [3] Харрисон У., Псевдопотенциалы в теории металлов, пер. с англ., М., 1968; [4] Марч Н., Янг У., Сампантхар С., Проблема многих тел в квантовой механике, пер. с англ., М., 1969; [5] Займан Дж., Современная квантовая теория, пер. с англ., М., 1971; [6] Липкин Г., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1977; [7] Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Статистическая физика, ч. 2, М., 1978. Л. П. Питаевский.

совокупность теоретических методов, применяемых для описания квантовомеханических систем, состоящих более чем из двух частиц. Поскольку Шредингера уравнение для таких систем не может быть решено точно, речь идет о приближенных методах. Уравнение Шредингера при решении квантовомеханич. задач в системах многих частиц обычно используется в представлении вторичного квантования. Координатное и импульсное представления в этом случае менее удобны, поскольку число измерений пространства, в к-ром пишется это уравнение, растет с увеличением числа частиц. Следует различать методы, применяемые для описания систем из конечного числа частиц, и методы описания макроскопич. тел. В первом случае типичной является постановка задачи о нахождении волновых функций и уровней энергии системы. Во втором случае подразумевается переход к термодинамич. пределу, когда объем тела и число частиц в нем формально устремляются к бесконечности с сохранением конечной плотности числа частиц. Типичной постановкой задачи в этом случае является определение энергии основного состояния системы и распределения частиц по импульсам, нахождение спектра элементарных возбуждений (квазичастиц) и кинетич. коэффициентов системы. Основой ряда методов теории многих частиц является возмущений теория, применяемая в случаях, когда потенциальная энергия взаимодействия между частицами достаточно мала. Для двух частиц, взаимодействующих посредством потенциала с конечным радиусом действия, условие этой малости состоит в малости амплитуды рассеяния по сравнению с радиусом действия. Для частиц, взаимодействующих по закону Кулона, оно сводится к требованию малости потенциальной энергии по сравнению с кинетической на расстоянии порядка длины волны. Формальное применение теории возмущений приводит к выражениям для характеризующих систему величин в виде ряда по целым степеням потенциальной энергии. В нек-рых случаях члены этого формального ряда оказываются бесконечными - содержащими расходящиеся интегралы, что обычно свидетельствует об ошибочности предположения о разложимости по целым степеням потенциала, даже при условии применимости теории возмущений для взаимодействия двух частиц. В этом случае для получения конечного результата приходится суммировать бесконечные последовательности наиболее расходящихся членов ряда. Характерным примером является вычисление термодинамич. функций системы заряженных частиц, где для получения конечного результата необходимо учитывать экранировку потенциала каждой из частиц остальными частицами. Другой пример - вычисление энергии основного состояния слабонеидеального бозе-газа, в к-ром отличное от нуля значение энергии возникает только при учете взаимодействия. В обоих случаях разложение термодинамич. функций системы содержит дробные степени потенциала взаимодействия. Своеобразна ситуация в сверхпроводниках, где термодинамич. функции электронного газа содержат экспоненциально малые по потенциалу взаимодействия члены. Эти члены исчезают в любом порядке теории возмущений, однако именно с ними связан сверхпроводящий фазовый переход. Наиболее совершенной формой теории возмущений является диаграммная техника. Она применяется чаще всего для вычисления функции Грина системы, полюсы к-рой определяют энергии квазичастиц, а интеграл от к-рой по частотам - распределение частиц системы по импульсам. Каждый член ряда теории возмущений изображается в диаграммной технике в виде совокупности нескольких диаграмм Фейнмана, для аналитич. записи к-рых существуют стандартные правила. Диаграммная техника оказывается особенно эффективной для упомянутого выше суммирования наиболее расходящихся членов ряда теории возмущений. Различные диаграммы в одном и том же порядке теории возмущений имеют различный физич. смысл и могут обладать разной степенью расходимости. Суммирование расходимостей в этом случае сводится к имеющему наглядный физич. смысл выделению определенных графич. последовательностей диаграмм. Важное преимущество диаграммной техники - возможность корректной оценки отброшенных членов и тем самым определения условий применимости сделанных приближений. Существуют нек-рые возможности вычисления функций Грина без применения теории возмущений. В теории имеются точные соотношения, выражающие функции Грина более низкого порядка через функции более высокого порядка (одночастичную через двухчастичную и т. д.). Если на основании тех или иных физич. соображений удается выразить многочастичные функции через одночастичные - произвести «расцепление», то для одночастичной функции получается замкнутое уравнение, допускающее непосредственное решение. При таком подходе метод функций Грина близок к методу цепочек квантовых функций распределения. Большие возможности открывает запись функций Грина в виде бесконечнократного функционального интеграла. Для приближенного вычисления последнего существуют методы, принципиально отличные от теории возмущений, напр. перевала метод. Если условие применимости теории возмущений для взаимодействия пар частиц не выполняется, но система является настолько разреженной, что амплитуда рассеяния двух частиц мала по сравнению с межчастичным расстоянием, применимо приближение вириального разложения. Характеризующие систему физич. величины получаются в виде ряда по степеням плотности числа частиц, причем последовательные члены ряда соответствуют взаимодействию пар, троек и т. д. частиц и выражаются через амплитуды парного рассеяния и амплитуды рассеяния более высоких порядков. В нек-ром смысле обратная ситуация имеет место в тяжелых атомах, где создаваемый электронами электрич. потенциал медленно меняется на расстоянии порядка длины волны электрона. Электроны в таком атоме можно рассматривать как квазиклассич. ферми-газ, находящийся во внешнем поле, определяющемся самим распределением электронов. Для этого потенциала получается замкнутое уравнение Томаса - Ферми (см. Томаса - Ферми метод). В том случае, когда при постановке многочастичной задачи не удается найти малый параметр, используя малость к-рого можно искать приближенное решение, важную роль играют вариационные методы. Эти методы основаны на том обстоятельстве, что средняя энергия системы, вычисленная для нек-рой нормированной волновой функции, будет минимальна при вычислении по истинной волновой функции основного состояния. Аналогично волновая функция первого возбужденного состояния имеет минимальную энергию среди всех функций, ортогональных к функции основного состояния, и т. д. Простейший вариант применения этого метода состоит в подборе нек-рой функции, удовлетворяющей определенным общим требованиям и зависящей от нескольких параметров. Минимизация энергии по этим параметрам может дать достаточно точные результаты, особенно в системе из небольшого числа частиц. Точность зависит при этом от удачного выбора вида «пробной» функции, близкого к виду истинной волновой функции. В применении к атомным системам хорошую точность дает метод самосогласованного поля (метод Хартри-Фока). Этот метод состоит в том, что волновая функция системы электронов записывается в виде линейной комбинации произведений функций, каждая из к-рых зависит от координат только одного электрона. Линейные комбинации подбираются таким образом, чтобы удовлетворить необходимым условиям симметрии, соответствующим, напр., определенным значениям орбитального момента атома. Для самих же одночастичных функций в результате минимизации энергии получается нелинейное уравнение типа уравнения Шредингера с потенциалом, зависящим от самих волновых функций. Можно сказать, что электрон движется в самосогласованном поле, определяемом всеми остальными электронами. В отличие от уравнения Томаса - Ферми, для этого потенциала, однако, не предполагается применимость квазиклассического приближения. Большие успехи достигнуты при исследовании электронных свойств металлов. Наибольший интерес представляет расчет энергетич. спектров электронов в зоне проводимости. Важную роль здесь играет метод псевдопотенциала. В простейшем варианте этого метода волновые функции электронов заполненных зон принимаются равными волновым функциям свободных ионов, а волновые функции электронов в зоне проводимости выбираются в виде линейной комбинации плоских волн и волновых функций заполненных оболочек так, чтобы эти комбинации были ортогональны к волновым функциям заполненных оболочек. В результате задача сводится к уравнению типа уравнения Шредингера, в к-ром, однако, вместо потенциала стоит линейная комбинация обычного самосогласованного потенциала и нек-рого связанного с упомянутой ортогонализацией выражения, зависящего от энергии состояния и волновых функций электронов в ионах. Эту сумму и называют псевдопотенциалом. Он оказывается относительно малым из-за компенсации указанных двух членов, так что уравнение можно решать по теории возмущений. Это позволяет получить весьма полную информацию о свойствах конкретных металлов. В частности, малость псевдопотенциала позволила объяснить известную эмпирически близость многих наблюдаемых свойств электронов в металлах к свойствам невзаимодействующих электронов. Лит.: [1] Гомбаш П., Проблема многих частиц в квантовой механике, пер. с нем., М., 1952; [2] Абрикосов А.А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; [3] Харрисон У., Псевдопотенциалы в теории металлов, пер. с англ., М., 1968; [4] Марч Н., Янг У., Сампантхар С., Проблема многих тел в квантовой механике, пер. с англ., М., 1969; [5] Займан Дж., Современная квантовая теория, пер. с англ., М., 1971; [6] Липкин Г., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1977; [7] Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Статистическая физика, ч. 2, М., 1978. Л. П. Питаевский.