КВАНТОВОЕ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ

сложение моментов (орбитальных, спиновых, полных) независимых частиц (или систем - атомов, молекул и т. д.) по законам квантовой механики. Применяется также название векторное сложение моментов. В случае двух частиц задача состоит в определении спектра возможных собственных значений оператора квадрата суммарного момента $j^{2}=\left(j_{1}+j_{2}\right)^{2}$ и его проекции $\hat{j}_{z}$ на фиксированную ось и соответствующих собственных функций $\left(\boldsymbol{j}_{1}, \boldsymbol{j}_{2}-\right.$ операторы моментов частиц 1,2$)$. Спектр имеет вид \[ j^{2}=\hbar^{2} j(j+1), j_{z}=\hbar m, \] где квантовое число суммарного момента $j$ может принимать значения $j=j_{1}+j_{2}, j_{1}+j_{2}-1, \ldots,\left|j_{1}-j_{2}\right|$, а его проекции $m=j, j-1, \ldots,-j\left(j_{1}, m_{1}\right.$ и $j_{2}, m_{2}-$ квантовые числа моментов частиц 1 и 2 и их проекций). При этом каждое из возможных значений $j$ встречается только один раз, что легко подтверждается подсчетом общего числа квантовых состояний $(j, m)$ : \[ \sum_{j=\left|j_{1}-j_{2}\right|}^{j_{1}+j_{2}}(2 j+1)=\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{2}+1\right) . \] На математич. языке рассматриваемая задача соответствует разложению прямого (тензорного) произведения двух неприводимых представлений $\left(D^{\left(j_{1}\right)} \otimes D^{\left(j_{2}\right)}\right)$ группы вращений трехмерного пространства $S O(3)$ на неприводимые компоненты, что символически записывается в виде \[ D^{\left(j_{1}\right)} \otimes D^{\left(j_{2}\right)}=D^{\left(j_{1}+j_{2}\right)}+D^{\left(j_{1}+j_{2}-1\right)}+\ldots+D^{\left(\left(j_{1}-j_{2} \mid\right)\right.} \] (ряд Клебша-Гордана). Все значения $j$ либо целые (когда $j_{1}$ и $j_{2}$ одновременно целые или полуцелые), либо полуцелые (когда один из складываемых моментов целый, а другой полуцелый). В частности, для отдельного электрона в атоме $\boldsymbol{j}$ всегда полуцелое: $\boldsymbol{j}=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{s}$, где квантовое число орбитального момента $l=0,1,2, \ldots$, а спинового: $s=1 / 2$. Сложение произвольного числа $N$ моментов \[ \boldsymbol{J}=\boldsymbol{j}_{1}+\boldsymbol{j}_{2}+\ldots+\boldsymbol{j}_{N} \] может быть выполнено последовательным применением операции (1). В частности, наибольшее значение $J=j_{1}+j_{2}+\ldots+j_{N}$ имеет кратность, равную единице (то есть встречается в разложении прямого произведения $D^{\left(j_{1}\right)} \otimes D^{\left(j_{2}\right)} \otimes \ldots \otimes D^{\left(j_{N}\right)}$ только один раз). В теории атомов применяются следующие схемы сложения моментов: 1) связь Рассела-Саундерса ($L S$-связь), в к-рой сначала складываются орбитальные и спиновые моменты отдельных электронов: \[ L=\sum_{i} l_{i}, \quad S=\sum_{i} s_{i}, \] а затем $\boldsymbol{L}$ и $\boldsymbol{S}$ складываются в полный момент атома $\boldsymbol{J}$; 2) $і j$-связь, в к-рой орбитальный и спиновый моменты $i$-го электрона складываются в полный момент электрона $\boldsymbol{j}_{i}=\boldsymbol{l}_{i}+\boldsymbol{s}_{i}$, после чего полный момент атома $\boldsymbol{J}$ определяется по формуле (4). Условием применимости $L S$-связи является малость релятивистских взаимодействий по сравнению с электростатическим (кулоновским), поэтому она хорошо работает в легких атомах. По мере увеличения атомного номера $Z$ роль релятивистских эффектов возрастает и происходит переход от $L S$-связи к jj-связи (однако в чистом виде последний тип связи фактически не встречается даже в самых тяжелых атомах). Следует подчеркнуть, что только $J$ и $J_{z}$ - строго сохраняющиеся величины (соответствующие операторы коммутируют с гамильтонианом), в то время как $l_{i}$, $L$ и $S$ в схеме $L S$-связи, $j_{i}$ в схеме $j$-связи сохраняются лишь приближенно. Для построения волновой функции $\psi_{j m}$, отвечающей собственным значениям (1), из волновых функций отдельных частиц $\psi_{j_{1} m_{1}}$ и $\psi_{j_{2} m_{2}}$ используются Клебша-Гордана коэффициенты.

сложение моментов (орбитальных, спиновых, полных) независимых частиц (или систем - атомов, молекул и т. д.) по законам квантовой механики. Применяется также название векторное сложение моментов. В случае двух частиц задача состоит в определении спектра возможных собственных значений оператора квадрата суммарного момента $j^{2}=\left(j_{1}+j_{2}\right)^{2}$ и его проекции $\hat{j}_{z}$ на фиксированную ось и соответствующих собственных функций $\left(\boldsymbol{j}_{1}, \boldsymbol{j}_{2}-\right.$ операторы моментов частиц 1,2$)$. Спектр имеет вид \[ j^{2}=\hbar^{2} j(j+1), j_{z}=\hbar m, \] где квантовое число суммарного момента $j$ может принимать значения $j=j_{1}+j_{2}, j_{1}+j_{2}-1, \ldots,\left|j_{1}-j_{2}\right|$, а его проекции $m=j, j-1, \ldots,-j\left(j_{1}, m_{1}\right.$ и $j_{2}, m_{2}-$ квантовые числа моментов частиц 1 и 2 и их проекций). При этом каждое из возможных значений $j$ встречается только один раз, что легко подтверждается подсчетом общего числа квантовых состояний $(j, m)$ : \[ \sum_{j=\left|j_{1}-j_{2}\right|}^{j_{1}+j_{2}}(2 j+1)=\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{2}+1\right) . \] На математич. языке рассматриваемая задача соответствует разложению прямого (тензорного) произведения двух неприводимых представлений $\left(D^{\left(j_{1}\right)} \otimes D^{\left(j_{2}\right)}\right)$ группы вращений трехмерного пространства $S O(3)$ на неприводимые компоненты, что символически записывается в виде \[ D^{\left(j_{1}\right)} \otimes D^{\left(j_{2}\right)}=D^{\left(j_{1}+j_{2}\right)}+D^{\left(j_{1}+j_{2}-1\right)}+\ldots+D^{\left(\left(j_{1}-j_{2} \mid\right)\right.} \] (ряд Клебша-Гордана). Все значения $j$ либо целые (когда $j_{1}$ и $j_{2}$ одновременно целые или полуцелые), либо полуцелые (когда один из складываемых моментов целый, а другой полуцелый). В частности, для отдельного электрона в атоме $\boldsymbol{j}$ всегда полуцелое: $\boldsymbol{j}=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{s}$, где квантовое число орбитального момента $l=0,1,2, \ldots$, а спинового: $s=1 / 2$. Сложение произвольного числа $N$ моментов \[ \boldsymbol{J}=\boldsymbol{j}_{1}+\boldsymbol{j}_{2}+\ldots+\boldsymbol{j}_{N} \] может быть выполнено последовательным применением операции (1). В частности, наибольшее значение $J=j_{1}+j_{2}+\ldots+j_{N}$ имеет кратность, равную единице (то есть встречается в разложении прямого произведения $D^{\left(j_{1}\right)} \otimes D^{\left(j_{2}\right)} \otimes \ldots \otimes D^{\left(j_{N}\right)}$ только один раз). В теории атомов применяются следующие схемы сложения моментов: 1) связь Рассела-Саундерса ($L S$-связь), в к-рой сначала складываются орбитальные и спиновые моменты отдельных электронов: \[ L=\sum_{i} l_{i}, \quad S=\sum_{i} s_{i}, \] а затем $\boldsymbol{L}$ и $\boldsymbol{S}$ складываются в полный момент атома $\boldsymbol{J}$; 2) $і j$-связь, в к-рой орбитальный и спиновый моменты $i$-го электрона складываются в полный момент электрона $\boldsymbol{j}_{i}=\boldsymbol{l}_{i}+\boldsymbol{s}_{i}$, после чего полный момент атома $\boldsymbol{J}$ определяется по формуле (4). Условием применимости $L S$-связи является малость релятивистских взаимодействий по сравнению с электростатическим (кулоновским), поэтому она хорошо работает в легких атомах. По мере увеличения атомного номера $Z$ роль релятивистских эффектов возрастает и происходит переход от $L S$-связи к jj-связи (однако в чистом виде последний тип связи фактически не встречается даже в самых тяжелых атомах). Следует подчеркнуть, что только $J$ и $J_{z}$ - строго сохраняющиеся величины (соответствующие операторы коммутируют с гамильтонианом), в то время как $l_{i}$, $L$ и $S$ в схеме $L S$-связи, $j_{i}$ в схеме $j$-связи сохраняются лишь приближенно. Для построения волновой функции $\psi_{j m}$, отвечающей собственным значениям (1), из волновых функций отдельных частиц $\psi_{j_{1} m_{1}}$ и $\psi_{j_{2} m_{2}}$ используются Клебша-Гордана коэффициенты.