АБСТРАКТНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

теория абстрактных рядов Фурье и интегралов Фурье. Классич. гармонический анализ - теория рядов и интегралов Фурье интенсивно развивался под влиянием физич. задач в 18-19 вв. и оформился в самостоятельную математич. дисциплину Дальнейшее развитие гармонич. анализа привело к установлению разнообразных связей гармонич. анализа с общими вопросами теории функций и функциональным анализом. Открытие Хаара меры и развитие теории представлений бесконечных групп поставили вопрос о естественных границах основных результатов классич. гармонич. анализа. Эта задача основана на следующей интерпретации обычного ряда Фурье в комплексной форме. Пусть $f(x)-$ комплекснозначная суммируемая с квадратом функция на окружности единичной длины (или на отрезке $[0,1]$ ), $c_{n}-$ её коэффициенты Фурье по системе $\left\{e^{2 \pi i n x}, n-\right.$ целое $\}$ : Тогда ряд Фурье \[ c_{n}=\int_{0}^{1} f(x) e^{-2 \pi i n x} d x \] \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{2 \pi i n x} \] функции $f(x)$ сходится в среднем к $f(x)$ в $L^{2}[0,1]$. Мера Лебега на $[0,1]$ порождает меру Хаара на окружности (единичной длины) $G$, рассматриваемой как группа вращений плоскости, а функции $x \rightarrow e^{2 \pi i n x}$ представляют собой полный набор неприводимых унитарных представлений топологич. группы $G$. Поэтому все величины, входящие в определение ряда Фурье, получают теоретико-групповой смысл и появляется возможность обобщения понятия ряда Фурье, основанная на теории неприводимых унитарных представлений топологич. групп. При этом А. г. а. не только позволяет найти естественную форму результатов классич. гармонич. анализа на прямой или окружности, но и установить новые результаты, относящиеся к бо́льшим классам топологич. групп. А. г. а. как гармонический анализ на группах зародился в значительной мере на основе теории характеров локально бикомпактных абелевых групп, созданной Л. С. Понтрягиным (1934). А. г. а. является одной из естественных областей приложения методов теории банаховых алгебр и может до нек-рой степени рассматриваться как одна из ветвей этой теории. С другой стороны, рамки А. г. а. являются естественными для ряда классич. задач теории функций и функционального анализа. Приложения А. г. а. весьма многообразны. Результаты А. г. а. применяются в общей теории локально бикомпактных групп, в теории динамич. систем, в теории представлений бесконечных групп (к-рая, в свою очередь, служит одним из основных инструментов А. г. а.) и во многих других математич. теориях. Наиболее разработанным разделом А. г. а. является теория интеграла Фурье на локально бикомпактной абелевой группе. Среди некоммутативных групп особое положение занимают бикомпактные группы, теория представлений к-рых имеет сравнительно простой и законченный вид: для бикомпактных групп получен ответ на многие классич. вопросы гармонич. анализа. В случае небикомпактных некоммутативных групп общая теория далека от завершения. Однако и в этом случае известны естественные границы ряда фундаментальных результатов классич. гармонич. анализа. Лит.: [1] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, кол. 880-886. $\quad$ Е. А. Горин, А. И. Штерн.

теория абстрактных рядов Фурье и интегралов Фурье. Классич. гармонический анализ - теория рядов и интегралов Фурье интенсивно развивался под влиянием физич. задач в 18-19 вв. и оформился в самостоятельную математич. дисциплину Дальнейшее развитие гармонич. анализа привело к установлению разнообразных связей гармонич. анализа с общими вопросами теории функций и функциональным анализом. Открытие Хаара меры и развитие теории представлений бесконечных групп поставили вопрос о естественных границах основных результатов классич. гармонич. анализа. Эта задача основана на следующей интерпретации обычного ряда Фурье в комплексной форме. Пусть $f(x)-$ комплекснозначная суммируемая с квадратом функция на окружности единичной длины (или на отрезке $[0,1]$ ), $c_{n}-$ её коэффициенты Фурье по системе $\left\{e^{2 \pi i n x}, n-\right.$ целое $\}$ : Тогда ряд Фурье \[ c_{n}=\int_{0}^{1} f(x) e^{-2 \pi i n x} d x \] \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{2 \pi i n x} \] функции $f(x)$ сходится в среднем к $f(x)$ в $L^{2}[0,1]$. Мера Лебега на $[0,1]$ порождает меру Хаара на окружности (единичной длины) $G$, рассматриваемой как группа вращений плоскости, а функции $x \rightarrow e^{2 \pi i n x}$ представляют собой полный набор неприводимых унитарных представлений топологич. группы $G$. Поэтому все величины, входящие в определение ряда Фурье, получают теоретико-групповой смысл и появляется возможность обобщения понятия ряда Фурье, основанная на теории неприводимых унитарных представлений топологич. групп. При этом А. г. а. не только позволяет найти естественную форму результатов классич. гармонич. анализа на прямой или окружности, но и установить новые результаты, относящиеся к бо́льшим классам топологич. групп. А. г. а. как гармонический анализ на группах зародился в значительной мере на основе теории характеров локально бикомпактных абелевых групп, созданной Л. С. Понтрягиным (1934). А. г. а. является одной из естественных областей приложения методов теории банаховых алгебр и может до нек-рой степени рассматриваться как одна из ветвей этой теории. С другой стороны, рамки А. г. а. являются естественными для ряда классич. задач теории функций и функционального анализа. Приложения А. г. а. весьма многообразны. Результаты А. г. а. применяются в общей теории локально бикомпактных групп, в теории динамич. систем, в теории представлений бесконечных групп (к-рая, в свою очередь, служит одним из основных инструментов А. г. а.) и во многих других математич. теориях. Наиболее разработанным разделом А. г. а. является теория интеграла Фурье на локально бикомпактной абелевой группе. Среди некоммутативных групп особое положение занимают бикомпактные группы, теория представлений к-рых имеет сравнительно простой и законченный вид: для бикомпактных групп получен ответ на многие классич. вопросы гармонич. анализа. В случае небикомпактных некоммутативных групп общая теория далека от завершения. Однако и в этом случае известны естественные границы ряда фундаментальных результатов классич. гармонич. анализа. Лит.: [1] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, кол. 880-886. $\quad$ Е. А. Горин, А. И. Штерн.