КВАТЕРНИОН

элемент множества $\mathbb{H}$, представимый в виде \[ q=\alpha_{0} 1+\alpha_{1} i+\alpha_{2} j+\alpha_{3} k \] где $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}-$ действительные числа, а $(1, i, j, k)-$ образующие базиса в $\mathbb{H}$, удовлетворяющие соотношениям: \[ \left.\begin{array}{c} 1 i=i, 1 j=j, 1 k=k, 1^{2}=1, i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1, \\ j i=-j i=k, k i=-i k=j, j k=-k j=i . \end{array}\right\} \] Умножение К. $q$ на скаляр $\alpha$ и сложение К. определяются так же, как и для обычных векторов. Можно ввести произведение двух К. $q=\alpha_{i} e_{i}$ и $q^{\prime}=\beta_{i} e_{i}$ формулой \[ q q^{\prime}=\sum_{i, j} \alpha_{i} \beta_{j} e_{i} e_{j}, \] иногда выделяют скалярную и векторную части К.: \[ q=\alpha_{0}+V \] тогда умножение векторных частей определяется формулой \[ V_{1} V_{2}=-\left(V_{1} V_{2}\right)+\left[V_{1} V_{2}\right] \] Тем самым множество $\mathbb{H}$ превращается в алгебру (алгебру кватернионов). Из соотношений (1) следует, что $\mathbb{H}-$ некоммутативная, но ассоциативная алгебра. Алгебра $\mathbb{H}$ содержит в виде подалгебры поле действительных чисел $\mathbb{R}=\left\{\alpha e_{0}\right\}$ и поле комплексных чисел $\mathbb{C}=\left\{\alpha e_{0}+\beta e_{1}\right\}$. Алгебра $\mathbb{H}$ допускает изоморфное матричное представление с помощью Паули матриц: \[ e_{0}=\left\|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right\|, \quad e_{1}=i\|\| \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\left\|, \quad e_{2}=i\right\| \begin{array}{cc} 0 & i \\ -i & 0 \end{array}\left\|, \quad e_{3}=i\right\| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \| . \] Для каждого К. $q=\alpha_{0} e_{0}+\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}$ определены сопряженный К. $\bar{q}=\alpha_{0} e_{0}-\alpha_{1} e_{1}-\alpha_{2} e_{2}-\alpha_{3} e_{3}$ и норма $N(q)=q \bar{q}=\bar{q} q=\alpha_{0}^{2}+\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\alpha_{3}^{2}=|q|^{2}$. Обратным кватернионом является $q^{-1}=\bar{q} /|q|^{2}$. Каждый ненулевой К. имеет обратный. Наряду с действительными и комплексными числами в различных вопросах теории представлений групп, топологии и физики можно использовать К. Вращение трехмерного пространства можно задать при помощи К. с нормой 1 (аналогично тому, как вращение плоскости задается комплексным числом с модулем 1).

элемент множества $\mathbb{H}$, представимый в виде \[ q=\alpha_{0} 1+\alpha_{1} i+\alpha_{2} j+\alpha_{3} k \] где $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}-$ действительные числа, а $(1, i, j, k)-$ образующие базиса в $\mathbb{H}$, удовлетворяющие соотношениям: \[ \left.\begin{array}{c} 1 i=i, 1 j=j, 1 k=k, 1^{2}=1, i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1, \\ j i=-j i=k, k i=-i k=j, j k=-k j=i . \end{array}\right\} \] Умножение К. $q$ на скаляр $\alpha$ и сложение К. определяются так же, как и для обычных векторов. Можно ввести произведение двух К. $q=\alpha_{i} e_{i}$ и $q^{\prime}=\beta_{i} e_{i}$ формулой \[ q q^{\prime}=\sum_{i, j} \alpha_{i} \beta_{j} e_{i} e_{j}, \] иногда выделяют скалярную и векторную части К.: \[ q=\alpha_{0}+V \] тогда умножение векторных частей определяется формулой \[ V_{1} V_{2}=-\left(V_{1} V_{2}\right)+\left[V_{1} V_{2}\right] \] Тем самым множество $\mathbb{H}$ превращается в алгебру (алгебру кватернионов). Из соотношений (1) следует, что $\mathbb{H}-$ некоммутативная, но ассоциативная алгебра. Алгебра $\mathbb{H}$ содержит в виде подалгебры поле действительных чисел $\mathbb{R}=\left\{\alpha e_{0}\right\}$ и поле комплексных чисел $\mathbb{C}=\left\{\alpha e_{0}+\beta e_{1}\right\}$. Алгебра $\mathbb{H}$ допускает изоморфное матричное представление с помощью Паули матриц: \[ e_{0}=\left\|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right\|, \quad e_{1}=i\|\| \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\left\|, \quad e_{2}=i\right\| \begin{array}{cc} 0 & i \\ -i & 0 \end{array}\left\|, \quad e_{3}=i\right\| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \| . \] Для каждого К. $q=\alpha_{0} e_{0}+\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}$ определены сопряженный К. $\bar{q}=\alpha_{0} e_{0}-\alpha_{1} e_{1}-\alpha_{2} e_{2}-\alpha_{3} e_{3}$ и норма $N(q)=q \bar{q}=\bar{q} q=\alpha_{0}^{2}+\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\alpha_{3}^{2}=|q|^{2}$. Обратным кватернионом является $q^{-1}=\bar{q} /|q|^{2}$. Каждый ненулевой К. имеет обратный. Наряду с действительными и комплексными числами в различных вопросах теории представлений групп, топологии и физики можно использовать К. Вращение трехмерного пространства можно задать при помощи К. с нормой 1 (аналогично тому, как вращение плоскости задается комплексным числом с модулем 1).