КЛЕБША-ГОРДАНА КОЗФФИЧИЕНТЫ

числа, возникающие в квантовой механике при решении задачи сложения моментов (орбитальных, спиновых или полных) независимых частиц (или систем), а также при сложении изотопических спинов и вообще любых аналогичных величин, связанных с группами $S U(2)$ и $S O(3)$. Названы по имени А. Клебша (A. Klebsch) и П. Гордана (P. Gordan). В литературе встречаются также названия: коэффициенты векторного сложения, коэффициенты Вигнера. К.-Г. к. используются в атомной и молекулярной физике, теории твердого тела, физике ядра и элементарных частиц и в других приложениях квантовой механики. Задача сложения двух моментов состоит в нахождении собственных функций $\psi_{j m}$ и собственных значений операторов $\hat{j}^{2}$ и $\hat{j}_{z}$ (где $j=j_{1}+j_{2}-$ суммарный момент системы), выраженных через собственные функции $\psi_{j_{1} m_{1}}, \psi_{j_{2} m_{2}}$ операторов двух складываемых моментов и их проекций [1], [2]: \[ \psi_{j m}=\sum_{m_{1}+m_{2}=m} C_{j_{1} m_{1} ; j_{2} m_{2}}^{j m} \Psi_{j_{1} m_{1}} \Psi_{j_{2} m_{2}} \text {. } \] Здесь $C_{j_{1} m_{1}}^{j m} ; j_{2} m_{2}-$ К.-Г. к., $j^{2}=\hbar^{2} j(j+1), j_{z}=\hbar m$, причем $j$ и $m$ могут принимать значения: \[ j=j_{1}+j_{2}, j_{1}+j_{2}-1, \ldots,\left|j_{1}-j_{2}\right|,-j \leqslant m \leqslant j \] $\left(j_{1}, m_{1} ; j_{2}, m_{2}-\right.$ квантовые числа моментов и их проекций отдельных частиц; см. Квантовое сложение моментов). Используется много различных обозначений для К.-Г. к. [кроме обозначения в формуле (1)] и связанных с ними коэффициентов. Общие формулы для К.-Г. к. при произвольных $j_{1}, j_{2}$ и $j$ были получены Е. Вигнером (E. Wigner) и Г. Рака (G. Racah) с помощью методов теории групп, однако они слишком громоздки для большинства физич. приложений. В практич. расчетах пользуются либо алгебраич. формулами в случае, когда один из моментов мал, либо числовыми таблицами К. $-Г$. к. для конкретных значений $j_{1}, j_{2}$ и $j$ (см., напр., [3]). Различные свойства К.-Г. к. наиболее полно изложены в [3]-[5]. Лит.: [1] Вигнер Е., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., М., 1961; [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М., 1974; [3] Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К., Квантовая теория углового момента, Л., 1975; [4] Биденхарн Л., Лаук Дж., Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984; [5] Смородинский Я. А., Шелепин Л. А., Коэффициенты Клебша-Гордана с разных сторон, «Успехи физических наук», 1972, т. 106, с. 3. В. С. Попов.

числа, возникающие в квантовой механике при решении задачи сложения моментов (орбитальных, спиновых или полных) независимых частиц (или систем), а также при сложении изотопических спинов и вообще любых аналогичных величин, связанных с группами $S U(2)$ и $S O(3)$. Названы по имени А. Клебша (A. Klebsch) и П. Гордана (P. Gordan). В литературе встречаются также названия: коэффициенты векторного сложения, коэффициенты Вигнера. К.-Г. к. используются в атомной и молекулярной физике, теории твердого тела, физике ядра и элементарных частиц и в других приложениях квантовой механики. Задача сложения двух моментов состоит в нахождении собственных функций $\psi_{j m}$ и собственных значений операторов $\hat{j}^{2}$ и $\hat{j}_{z}$ (где $j=j_{1}+j_{2}-$ суммарный момент системы), выраженных через собственные функции $\psi_{j_{1} m_{1}}, \psi_{j_{2} m_{2}}$ операторов двух складываемых моментов и их проекций [1], [2]: \[ \psi_{j m}=\sum_{m_{1}+m_{2}=m} C_{j_{1} m_{1} ; j_{2} m_{2}}^{j m} \Psi_{j_{1} m_{1}} \Psi_{j_{2} m_{2}} \text {. } \] Здесь $C_{j_{1} m_{1}}^{j m} ; j_{2} m_{2}-$ К.-Г. к., $j^{2}=\hbar^{2} j(j+1), j_{z}=\hbar m$, причем $j$ и $m$ могут принимать значения: \[ j=j_{1}+j_{2}, j_{1}+j_{2}-1, \ldots,\left|j_{1}-j_{2}\right|,-j \leqslant m \leqslant j \] $\left(j_{1}, m_{1} ; j_{2}, m_{2}-\right.$ квантовые числа моментов и их проекций отдельных частиц; см. Квантовое сложение моментов). Используется много различных обозначений для К.-Г. к. [кроме обозначения в формуле (1)] и связанных с ними коэффициентов. Общие формулы для К.-Г. к. при произвольных $j_{1}, j_{2}$ и $j$ были получены Е. Вигнером (E. Wigner) и Г. Рака (G. Racah) с помощью методов теории групп, однако они слишком громоздки для большинства физич. приложений. В практич. расчетах пользуются либо алгебраич. формулами в случае, когда один из моментов мал, либо числовыми таблицами К. $-Г$. к. для конкретных значений $j_{1}, j_{2}$ и $j$ (см., напр., [3]). Различные свойства К.-Г. к. наиболее полно изложены в [3]-[5]. Лит.: [1] Вигнер Е., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., М., 1961; [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М., 1974; [3] Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К., Квантовая теория углового момента, Л., 1975; [4] Биденхарн Л., Лаук Дж., Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984; [5] Смородинский Я. А., Шелепин Л. А., Коэффициенты Клебша-Гордана с разных сторон, «Успехи физических наук», 1972, т. 106, с. 3. В. С. Попов.