КЛЕЙНА-ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ, КЛЕЙНА-ГОРДОНА-ФОКА УРАВНЕНИЕ

простейшее релятивистски-инвариантное уравнение, описывающее свободное скалярное (или псевдоскалярное) физическое поле. Впервые получено в 1926 Э. Шредингером (Е. Schrödinger) (как релятивистское обобщение Шредингера уравнения) и независимо О. Клейном (O. Klein), В.А. Фоком и В. Гордоном (W. Gordon). В квантовой теории поля применяется для описания частиц со спином 0. В Минковского пространстве-времени К.-Г.У.- линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка: \[ \left(\square+m^{2}\right) \varphi(x)=0, \] где $\square$ - оператор Д'Аламбера, $m$ - масса частицы, $\varphi$ полевая функция или ее компоненты в пространстве внутренней симметрии $\left(x=\left(x^{0}, \boldsymbol{x}\right)\right.$ - точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ). Решение К.-Г.у. записывают в виде разложения по плоским волнам: \[ \begin{gathered} \varphi(x)=(2 \pi)^{-3 / 2} \int d p\left(2 p^{0}\right)^{-1 / 2}\left\{e^{i p x} a^{+}(p)+e^{-i p x} a^{-}(p)\right\}, \\ p^{0}=\left(p^{2}+m^{2}\right)^{1 / 2}, \end{gathered} \] где $p=\left(p^{0}, \boldsymbol{p}\right)-4$-импульс, $p x=p^{0} x^{0}-p x, a^{+}(p)$ и $a^{-}(p)-$ положительно- и отрицательно-частотные компоненты Фурье. При каноническом квантовании $a^{+}$и $a^{-}$интерпретируются как операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом $\boldsymbol{p}$ и энергией $p^{0}$. В их терминах гамильтониан свободного поля имеет вид: \[ H=\int d \boldsymbol{p} p^{0}(\boldsymbol{p}) a^{+}(\boldsymbol{p}) a^{-}(\boldsymbol{p}) . \] К.-Г. у. удовлетворяют компоненты любого свободного поля (спинорного, векторного и др.). В римановом пространстве с метрикой $R^{\mu \nu}$ (напр., в присутствии гравитационного поля с такой метрикой) К.-Г. у. имеет вид: \[ (-g)^{-1 / 2} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\left[(-g)^{1 / 2} g^{\mu \nu} \frac{\partial}{\partial x^{v}} \varphi\right]+m^{2} \varphi=0, \] где $g$ - определитель матрицы $\left\|g^{\mu \nu}\right\|, \mu, v=0,1,2, \dot{3}$. Изучены К.-Г.у. с различными видами нелинейности (напр., синус-Гордона уравнение).

простейшее релятивистски-инвариантное уравнение, описывающее свободное скалярное (или псевдоскалярное) физическое поле. Впервые получено в 1926 Э. Шредингером (Е. Schrödinger) (как релятивистское обобщение Шредингера уравнения) и независимо О. Клейном (O. Klein), В.А. Фоком и В. Гордоном (W. Gordon). В квантовой теории поля применяется для описания частиц со спином 0. В Минковского пространстве-времени К.-Г.У.- линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка: \[ \left(\square+m^{2}\right) \varphi(x)=0, \] где $\square$ - оператор Д'Аламбера, $m$ - масса частицы, $\varphi$ полевая функция или ее компоненты в пространстве внутренней симметрии $\left(x=\left(x^{0}, \boldsymbol{x}\right)\right.$ - точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ). Решение К.-Г.у. записывают в виде разложения по плоским волнам: \[ \begin{gathered} \varphi(x)=(2 \pi)^{-3 / 2} \int d p\left(2 p^{0}\right)^{-1 / 2}\left\{e^{i p x} a^{+}(p)+e^{-i p x} a^{-}(p)\right\}, \\ p^{0}=\left(p^{2}+m^{2}\right)^{1 / 2}, \end{gathered} \] где $p=\left(p^{0}, \boldsymbol{p}\right)-4$-импульс, $p x=p^{0} x^{0}-p x, a^{+}(p)$ и $a^{-}(p)-$ положительно- и отрицательно-частотные компоненты Фурье. При каноническом квантовании $a^{+}$и $a^{-}$интерпретируются как операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом $\boldsymbol{p}$ и энергией $p^{0}$. В их терминах гамильтониан свободного поля имеет вид: \[ H=\int d \boldsymbol{p} p^{0}(\boldsymbol{p}) a^{+}(\boldsymbol{p}) a^{-}(\boldsymbol{p}) . \] К.-Г. у. удовлетворяют компоненты любого свободного поля (спинорного, векторного и др.). В римановом пространстве с метрикой $R^{\mu \nu}$ (напр., в присутствии гравитационного поля с такой метрикой) К.-Г. у. имеет вид: \[ (-g)^{-1 / 2} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\left[(-g)^{1 / 2} g^{\mu \nu} \frac{\partial}{\partial x^{v}} \varphi\right]+m^{2} \varphi=0, \] где $g$ - определитель матрицы $\left\|g^{\mu \nu}\right\|, \mu, v=0,1,2, \dot{3}$. Изучены К.-Г.у. с различными видами нелинейности (напр., синус-Гордона уравнение).